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《2016新编福师大点集拓扑学练习题(第二章)答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、练习（第二章）参考答案：一.判断题(每小题2分)1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑(×)2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.(√)3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.(×)4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.(×)5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（√）6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（×）7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(√)8．设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑(×)9.从拓扑空间到
2、平庸空间的任何映射都是连续映射（√）10.设为离散拓扑空间的任意子集，则（√）11.设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则（×）12.设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则（√）二．填空题：(每空格3分)1、X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…},则包含3的所有开集为包含3的所有闭集为包含3的所有邻域为设A={1,2,3,4,5}则A的导集为{1,2,3,4}A的闭包为{1,2,3,4,5}2、设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=3、在实数空间R中，有理数集Q的导
3、集是____R____.4、当且仅当对于的每一邻域有;答案：5、设是有限补空间中的一个无限子集，则=;=;答案：；6、设是可数补空间中的一个不可数子集，则=;=;答案：；7、设,的拓扑,则的子集的内部为;答案：{2}三、单项选择题（每题2分）1、已知,下列集族中，（）是上的拓扑.①②③④答案：③2、已知，拓扑,则=（）①φ②③④答案：④3、已知，拓扑,则=（）①φ②③④答案：②4、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（）①1②2③3④4答案：②5、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（）①0②1③2④3
4、答案：③6、在实数空间中，有理数集的内部是（）①②Q③R-Q④R答案：①7、在实数空间中，有理数集的边界是（）①②Q③R-Q④R答案：④8、在实数空间中，整数集的内部是（）①②③R-Z④R答案：①9、在实数空间中，整数集的边界是（）①②③R-Z④R答案：②10、在实数空间中，区间的边界是（）①②③④答案：③11、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中错误的是（）①②③④答案:③12、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（）①②③④答案：①13、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则
5、下列结论中不正确的是（）①若,则②若,则③若A={},则④若,则答案：④14、设，令,则由产生的上的拓扑是（）①{,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{,,{c},{d},{c,d}}③{,,{c},{a,b,c}}④{,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案：①15、离散空间的任一子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③16、平庸空间的任一非空真子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④17、实数空间中的任一单点集是()①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②
6、18、实数空间R的子集A={1,,,,……},则＝（）①φ②R③A∪{0}④A答案：③19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）①整数集②③有理数集④无理数集答案：①20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集答案：④21、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（ ）①1②2③3④4答案：④22、已知,则上的所有可能的拓扑有（ ）①1个 ②2个③3个④4个答案：④23、在实数下限拓扑空间中，区间是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：③24、设是一
7、个拓扑空间，,且满足,则是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：②四.证明题(52分):1.设X有拓扑也是拓扑.证:所以也是拓扑.2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.证:设→x,→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=.对于B(x,ρ(x,y)/3),存在>0,当i>时有B(x,ρ(x,y)/3)对于B(y,ρ(x,y)/3),存在>0,当i>时有B(y,ρ(x,y)/3)取N=max{,},则当i>N时有B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)与B(x,ρ
8、(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=.矛盾3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则Bx={B∈B
9、x∈B}是点x处的一个邻域基.见P.82定理2.6.74.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)
10、y∈R}∪{(x,0)
11、x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有
