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1、离心率问题的解决策略及方法河北省正定县第一中学-----赵志军离心率是圆锥曲线的一个重要知识点，同时也是也是圆锥曲线的重要几何性质，是刻画椭圆扁平程度，双曲线形状扁狭还是开阔的一种量度，纵观近几年高考，求离心率的值或范围的问题在高考中屡见不鲜,其表现是：题型多样，解法灵活.本文介绍一些常用的方法，供同行参考。一．定义法利用圆锥曲线的统一定义，知离心率是动点到焦点的距离与到其准线的距离之比。故可以把一二定义结合灵活解决一些问题。例1.设是离心率为的双曲线的左右焦点，若在双曲线的左支上存在点P，使是与点P到左准线的距离d的
2、等比中项，求双曲线的离心率的取值范围解析：是与d的等比中项等价于,(1),(2),又因为-=2a,,(左支上的点到准线的最小距离为）（>1),解得1<此题也可这样来解：由双曲线的第二定义，知，即(1)又由双曲线的第一定义，得(2),由（1）（2）解得.在中，当三点共线时，.（3）式可化为解得，，即双曲线的离心率的取值范围是点评：本题的两种解法巧妙的将双曲线的第一与第二定义结合起来，通过构造离心率的不等式，从而顺利实现求解目的.二．公式法圆锥曲线离心率的公式为例2.若双曲线的渐近线方程为y=,则它的离心率可能是A.B.2
3、C.或2D.或解析：由题意可知双曲线的焦点不确定，所以应有（1），或（2），由（1）得=2，由（2）的=，故选C例3，已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A.B.C.D.解析由椭圆的定义可知,,是正三角形，,,从而cos=,,选B点评：以上两例将求离心率问题转化为求a.b.C关系的问题，其中例2运用了整体思想将看做一个整体,利用离心率与的关系.三．函数法例4.若直线l过双曲线（a>0,b>0)的右焦点，斜率k=2且它与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双
4、曲线的离心率的取值范围是A.B.C.D.解：双曲线的一条渐近线要满足题意须，由所以，选D例5.（2004年全国.21）设双曲线C:（a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离心率的取值范围。解：由C与l交于两个不同的点故知方程组有两个不同的实数解，消去y并整理得所以且解得且,因为双曲线的离心率==,又，所以，且，即离心率的取值范围为。点评:例4将离心率构造成了关于a为自变量的一种函数，特别需注意a的范围否则前功尽弃。例5可把看做一个整体仍然是函数问题，注意整体思想。四．方程法例6.已知双曲线，
5、一直线经过A（a,0),B(0,b)两点，若原点到直线AB的距离为，则此双曲线的离心率是()A.2B.CD2或解析：在OAB中，=，由面积相等×=ab得，解之得=2，故选C点评：求离心率的值常通过构造关于a与c的齐次等式，并进一步转化为离心率的方程，只需解的方程即可.五．向量法例7.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是A.2B.C.D.解析在双曲线的一条渐近线上取点，由对称性知必在另一条渐近线上，记，,所以=0，所以，即，=2，，选C点评：向量常与解析几何结合，但向量主要作为工具来使用，向量的运算比较简单
6、，应树立应用向量解题的意识.六．比例性质法在椭圆或双曲线含焦点的三角形中,若已知两个角,可用正弦定理及比例性质来求离心率。例8. 已知M为椭圆上一点,F1,F2是其两个焦点,且∠MF1F2=2,∠MF2F1=（）则椭圆的离心率为( )(A)1-2sin (B)1-sin2(C)1-cos2(D)2cos-1解 由已知及正弦定理,得
7、，由比例性质，得，所以故选D工作单位：河北省正定县第一中学邮编：050800姓名：赵志军联系电话：13832375898电子信箱:zzjgl19770620@126.com
