奇异边界法中的两种反插技术

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1、中国力学学会学术大会2009（CCTAM2009）奇异边界法中的两种反插技术1)国家自然科学基金(10672051)资助.陈文2)E-mail:chenwen@hhu.edu.cn，王福章（河海大学工程力学系，江苏南京210098）摘要奇异边界法直接使用基本解做为插值基函数，且源点和配点为同一组物理边界上的离散点，是一种真正的无网格边界离散方法。奇异边界法的核心是通过反插值技术，计算源点强度因子，即插值矩阵的对角线元素。而非对角线元素可以使用基本解直接求得。本文考察了奇异边界法中消除基本解原点奇异性问题的两种反插值技术，对它们

2、做了比较研究；以Laplace和Helmholtz方程为例检验了这些方法，并做了一些数值分析。关键词奇异边界法，基本解，反插值技术引言与基于网格划分的有限元法等方法相比，无网格法由于不需要划分网格，自上世纪90年代兴起了广泛研究的热潮[1-3]。无网格法可分为区域型无网格法和边界型无网格法，边界型无网格法只需要一组边界节点来离散求解区域边界，直接借助于边界离散点来构造近似函数，因此受到众多学者的青睐。目前备受关注的边界型无网格法主要包括：基本解法（methodoffundamentalsolutions:MFS）[4-8]、边

3、界节点法（boundaryknotmethod:BKM）[9,10]、奇异无网格法（singularmeshlessmethod:SMM）[11,12]、修正基本解法（modifiedmethodoffundamentalsolutions:MMFS）[13]等。基本解法由于数学简单、编程容易和高精度等优点，吸引许多国际力学和数学学者近年来的深入研究。该方法的主要缺点是为了避免控制微分方程基本解的原点奇异性，在物理边界之外引入了虚假边界，而虚假边界的选取随意性较大，在求解复杂几何域问题时容易造成计算不稳定，因此基本解法多用于计

4、算常规几何形状问题。为了避免使用虚假边界，Chen等[9,10]提出了边界节点法，使用控制微分方程的非奇异径向基函数一般解代替奇异基本解。该方法在计算二维和三维复杂几何域时，其解的精度和稳定性都很高[9,10]，但对于一些控制方程，如Laplace方程等，没有非奇异一般解，从而限制了边界节点法的应用范围。为了克服以上缺点，Young等[11,12]基于双层势理论提出了一种奇异无网格法，利用去奇异（desingularization）技术计算插值矩阵中的对角元素，该方法的不足是计算精度不高且需要在物理边界上等间距布点[14]，难

5、于处理复杂几何区域问题。类似于奇异无网格法，Bozidar[13]最近提出了修正基本解法，该方法解的精度高于基本解法，并且仅仅需要边界节点信息，然而在计算插值矩阵的对角元素时仍需要积分计算。基于以上研究，Chen[15]提出了奇异边界法（singularboundarymethod:SBM），该方法利用控制方程的基本解，通过反插值技术(inverseinterpolationtechnique)计算插值矩阵的对角元素，编程简单，是一种真正的无网格法。本文对奇异边界法中的两种反插值技术进行了研究，并将得到的结果与奇异无网格法做了

6、比较。1.奇异边界法的近似格式本文以二维Helmholtz方程为例描述奇异边界法的基本技术路线：中国力学学会学术大会2009（CCTAM2009）（1）（2）其中是待求未知量，为波数，是空间坐标，和分别代表计算域及其边界，和为已知函数。二维Helmholtz方程的基本解是（3）这里代表和两点间的欧几里得距离。根据基本解法的原理，以基本解为插值基函数，Helmholtz方程（1）的待求函数可以近似为（4）其中是边界离散点的数目，为待求插值系数。当配点和源点重叠时，不存在，即产生原点奇异性。为了避免基本解的奇异性，基本解方法的策略

7、是将源点虚拟地布置在物理域以外的虚假边界上，而将配点xi布置在真实的物理边界上，即插值源点和配点是两组完全不同的点。但到目前为止，对于复杂几何域或多连通几何域问题，如何较好地布置虚拟源点以保证计算结果可靠和稳定收敛，仍是基本解方法中一个未能解决的关键问题。奇异边界法不同于基本解方法的关键之处在于，插值源点和配点是同一组物理边界的离散点，因而不存在基本解方法中的虚假边界选取问题。奇异边界法的插值公式为[15]：（5）这里是插值点的总数，是待定插值系数。值得注意的是，插值公式(5)和(4)都用基本解为基函数，但插值公式（5）在配点

8、和源点重合处，假设了一个源点强度因子（originintensityfactor）。将插值公式(5)代入方程（1）和（2），令，因为基本解满足控制方程，我们得到下面矩阵形式的边界条件离散代数方程：(6)中国力学学会学术大会2009（CCTAM2009）源点强度因子实际上是插值