类似形中由点地位不肯定造成的多解问题摸索

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4、中考试题中出现了大量与三角形相似有关的一题多解问题，这类题目常常是由于给出的一个三角形顶点的位置不确定，及与另一个三角形顶点对应关系存在不确定性造成的，解决此类问题除了应联想所掌握相似三角形的一些基本图形（如平行线、相交型、母子相似形）等外，还要注意运用分类讨论思想、数形结合思想作指导。由于此类问题能够考查学生的空间想象能力，综合分析问题、解决问题的创新、创造的思维能力，因而倍受命题专家的青睐，下面摘取数例加以剖析，以飨读者.图1-1ABOyxP图1-2ABOyxC3C2C1P例1（佛山市）已知Rt△OAB在平面直角坐标系中的位置如图1-

5、1所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的一个动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分.问点CA在什么位置时，由PC分割得到的三角形与Rt△OAB相似？在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标.分析：联想“平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可以猜想当点C运动到点C1、C2且满足PC1//OA，或PC2//AB的位置时（图1-2），便有△OC1P∽△OAB，△BC2P∽△BAO，此时点C1、C2分别为OA、AB的中点，故点C1、C2的坐标分别为（3，0）、（6

6、，4）.因为△OAB为直角三角形，我们已将当∠C与∠A为对应的直角的对应关系找到了点C1、C2的位置，当∠P与∠A为对应的直角的对应关系时，可以过点P作PC3⊥OB交AB于点C3（图1-2），此时仍有△BPC3∽△BAO，所以又OB=10，AB=8，BP=5所以可求得BC3=AC3=8－=，所以点C3的坐标为（6，）.所以当点C在（3，0）、（6，4）、（6，）位置时，由PC分割得到的三角形与Rt△OAB相似.图2-2AByxO图2-1例2（浙江金华改编）如图2-1，平面直角坐标系，直线AB与x轴相交，y轴分别交于点A(3,0)，B(0，

7、)两点，试问：在第一象限内是否存在点P，使得P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似。如果存在，请你求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。第3页共3页[分析]：我们知道全等是相似的特例，因此（1）当∠OBP＝Rt∠时，如图2-2在过点B且垂直于OB的射线上截取BP1=OA，则有①△BOP1∽△OBA（△BOP1≌△OBA），此时∠BP1O＝∠BAO=30°，∴BP1=OB=3，∴（3，）．②若△BP2O∽△OBA，则∠BOP2＝∠BAO=30°，BP2=OB=1．∴（1，）．　　图2-3（2）联想到“直角三角形斜边上的高将原

8、三角形分成2个三角形原三角形相似”，则有当∠OPB＝Rt∠时③可过点O作OP3⊥BC于点P(如图2-3)，此时△P3BO∽△OBA，∠BOP3＝∠BAO＝30°，过点P3作P3M⊥OA于点M．