数学思维的新方法表(波利亚)

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1、波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵　１乔治·波利亚　乔治·波利亚(GeorgePolya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理

2、中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通

3、过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样

4、解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．12２．１“怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?拟定计划第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系

5、，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍

6、的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?回顾第四，验算所得到的解．你能

7、否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?12下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生．２．２“怎样解题”表的实践例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)【讲解】第一，弄清问题．问题1．你要求解的是什么?要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)