第4章§4.1 连通空间

第4章§4.1 连通空间

ID:1342016

大小:159.50 KB

页数:7页

时间:2017-11-10

第4章§4.1 连通空间_第1页
第4章§4.1 连通空间_第2页
第4章§4.1 连通空间_第3页
第4章§4.1 连通空间_第4页
第4章§4.1 连通空间_第5页
资源描述:

《第4章§4.1 连通空间》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、第4章 连通性  本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质,包括连通性,局部连通性和弧连通性,并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.  §4.1 连通空间  本节重点:  掌握连通与不连通的定义;  掌握如何证明一个集合的连通与否;  掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性.  我们先通过直观的方式考察一个例子.在实数空间R中的两个区间(0,l)和[1,2),尽管它们互不相交,但它们的并(0,1)∪[l,2)=(0,2)却是一个“整体”;而另外两个区间(0,1)和(1,2),它们的并(0,1)∪(1,2

2、)是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于,对于前一种情形,区间(0,l)有一个凝聚点1在[1,2)中;而对于后一种情形,两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义,用术语来区别这两种情形.  定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果  则称子集A和B是隔离的.  明显地,定义中的条件等价于和同时成立,也就是说,A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.  应用这一术语我们就可以说,在实数空间R中,子集(0,1)和(1,2)是隔离的,而子集(0,l)和[1,2)不是隔离的.  又例如,易见,

3、平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的,而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的.  定义4.1.2 设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B,则称X是一个不连通空间;否则,则称X是一个连通空间.  显然,包含着多于两个点的离散空间是不连通空间,而任何平庸空间都是连通空间.  定理4.1.1 设X是一个拓扑空间.则下列条件等价:  (l)X是一个不连通空间;  (2)X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B=X成立;  (3)X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B=X成立;  (4)X中存

4、在着一个既开又闭的非空真子集.  证明 条件(l)蕴涵(2):设(1)成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B=X,显然A∩B=,并且这时我们有  因此B是X中的一个闭子集;同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B满足条件(2)中的要求.  条件(2)蕴涵(3).如果X的子集A和B满足条件(2)中的要求,所以A、B为闭集,则由于这时有A=和B=,因此A、B也是开集,所以A和B也满足条件(3)中的要求.  条件(3)蕴涵(4).如果X的子集A和B满足条件(3)中的要求,所以A、B是开集,则由A=和B=易见A和B都是X中的闭集,

5、因此A、B是X中既开又闭的真(∵A、B≠,A∪B=X,∴A、B≠X)子集,所以条件(4)成立.  条件(4)蕴涵(l).设X中有一个既开又闭的非空真子集A.令B=.则A和B都是X中的非空的闭子集,它们是无交的并且使得A∪B=X.易见两个无交的闭子集必定是隔离的(因为闭集的闭包仍为自己).因此(l)成立.  例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q,集合(-∞,r)∩Q=(-∞,r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.  定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间.  证明 我们用

6、反证法来证明这个定理.  假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1,在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B=和A∪B=R成立.任意选取a∈A和b∈B,不失一般性可设a<b.令=A∩[a,b],和=B∩[a,b].于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得∩=和∪=[a,b]成立.集合有上界b,故有上确界,设为.由于是一个闭集,所以∈,并且因此可见<b,因为=b将导致b∈∩,而这与∩=矛盾.因此(,b].由于是一个闭集,所以∈.这又导致∈∩,也与∩=矛盾.  定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通

7、空间,则称Y是X的一个连通子集;否则,称Y是X的一个不连通子集.  拓扑空间X的子集Y是否是连通的,按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系.).因此,如果,则Y是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.  定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集,A,BY.则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.  因此,Y是X的一个不连通子集,当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B=Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B=Y.  证明 用、分别表

8、示A在Y,X中的闭包.因为  因此根据隔离子集的定义可见定理成立.  定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使得Y

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。