第八章 模型参考自适应控制(model reference adaptive control)简称mrac

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1、（2004年教案）辨识与自适应第九章23第九章模型参考自适应控制（ModelReferenceAdaptiveControl）简称MRAC介绍另一类比较成功的自适应控制系统，已有较完整的设计理论和丰富的应用成果（驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等）。§9—１MRAC的基本概念系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理想要求，MRAC力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。与STR不同之处是MRAC没有明显的辨识部分，而是通过与参考模型的比较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。设参考模型的方程为式(

2、9-1-1)式(9-1-2)被控系统的方程为式(9-1-3)式(9-1-4)两者动态响应的比较结果称为广义误差,定义输出广义误差为e=ym–ys式(9-1-5)；（2004年教案）辨识与自适应第九章23状态广义误差为e=Xm–Xs式(9-1-6)。自适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的自适应控制性能指标J达到最小。J可有不同的定义，例如单输出系统的式(9-1-7)或多输出系统的式(9-1-8)MRAC的设计方法目的是得出自适应控制率，即沟通广义误差与被控系统可调参数间关系的算式。有两类设计方法：一类是“局部参数最优化设计方

3、法”，目标是使得性能指标J达到最优化；另一类是使得自适应控制系统能够确保稳定工作，称之为“稳定性理论的设计方法。§9—2局部参数最优化的设计方法一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法——（2004年教案）辨识与自适应第九章23梯度法（GradientMethod）。1.梯度法考虑一元函数f(x)，当:¶f(x)/¶x=0，且¶f2(x)/¶x2>0时f(x)存在极小值。问题是怎样调整x使得f(x)能达到极小值？x有两个调整方向：当¶f(x)/¶x>0时应减小x；当¶f(x)/

4、¶x<0时应增加x。两者合并表示为：式(9-2-1)l为步长系数（l>0）。把函数f(x)在x方向的偏导数称为梯度。上式含义为：按照梯度的负方向调整自变量x。该结论可推广到多元函数求极值的情况。2．具有一个时变参数——可调增益的MRAC设计（MIT方案）1958年由麻省理工学院提出。（2004年教案）辨识与自适应第九章23参考模型传函为式中：q(s)=b1sn-1+…+bn;p(s)=sn+a1sn-1+…+an广义误差为e=ym–ys性能指标为：式(9-1-7)。系统的可调增益为Kc，目标是设计出随着e而调整Kc的规律，以使

5、J达到最小。J对Kc的梯度为由梯度法有：将上式两边对t求导数，得到式(9-2-2)（2004年教案）辨识与自适应第九章23广义误差对输入信号的传函为:自适应回路开环情况下系统传函为引入微分算子：D=d/dt、D2=d2/dt2…，由上式得到微分方程：P(D)×e(t)=(Km-Kc×Ks)q(D)×r(t)两端对Kc求偏导数得到式(9-2-3)由模型的微分方程：p(D)ym(t)=Kmq(D)r(t)得到代入式(9-2-3)，得出：代入式(9-2-2)，得出（2004年教案）辨识与自适应第九章23式(9-2-4)其中：B=2l

6、Ks/Km,当Ks与Km同号时B为正值常系数，即自适应回路的积分时间常数。实现的方案如下图，自适应回路由乘法器与积分器组成。该方案能够使得J为最小，但是不能确保自适应回路是稳定的。需要通过调整B的大小，使得系统稳定且自适应跟踪速度也比较快。MIT方案应用举例：二阶电传动调速系统的模型参考自适应控制马润津等“可控硅电传动模型参考自适应控制“自动化学报1979。第4期（2004年教案）辨识与自适应第九章23实验结构图（2004年教案）辨识与自适应第九章23§9—3基于李雅普诺夫第二方法稳定性理论的MRAC设计方法1.关于李雅普诺夫

7、(Liaupunov)稳定性的第二方法是关于动态系统（无论线性或者非线性）稳定性分析的理论，特点是不需要求微分方程的解，而是直接根据某个特定的函数（李雅普诺夫函数）对时间的变化率来判断其稳定性，因此又称直接法。它特别适用于非线性、线性时变或多变量系统的稳定性分析。a)李雅普诺夫意义下的稳定性对于以状态方程且f(0,t)=0"t式（9-3-1）描述的动态系统，如果存在一个对时间连续可微的纯量函数V(X,t)，满足以下条件：（1）V(X,t)正定；（2）V沿方程式（9-3-1）解的轨迹对时间的一阶偏导数V存在，且为负半定（或负定）

8、，则称V(X,t)为李雅普诺夫函数，且系统式（8-3-1）对于状态空间的坐标原点X=0为李雅普诺夫意义下的稳定（或渐进稳定）的。李雅普诺夫函数的几何意义可以理解为：V(X)表示状态空间原点到状态X的距离的量度，如果其原点到瞬时状态X(t)间的距离随着t的增长而不断减小则系统稳