山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第章调和点列

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1、第15章调和点列设两点、内分与外分同一线段成同一比例，即，则称点和调和分割线段，或称点是点关于线段的调和共轭点，亦称点列、，、为调和点列，若从直线一点引射线、、、，则称线束、、、为调和线束．调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质．①沈文选．线段调和分割的性质及应用[J]．中学教研（数学），2009（9）：28-33．②沈文选，肖登鹏．调和点列的性质与一类竞赛题的证明[J]．数学通讯，2009（6）：43-46．②沈文选，羊明亮．线段的调和分割在证明两角相等的应用[J]．中学教学研究，2009（8）：31-33．~③性质l设、、、是共线四点，点是线段

2、的中点，则、调和分割线段的充要条件是满足下述六个条件之一：（1）点、调和分割；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．证明（1）、调和分割；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．性质2设、、、是共线四点，过共点直线外一点引射线、、、，则、调和分割线段的充要条件是满足下述两个条件之一：（1）线束、、、其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；（2）另一直线分别交射线、、、于点、、、时，点、调和分割线段．证明（1）如图15-2，不失一般性，设过点作交射线于，交射线于．注意，有．（2）如图15-2，不失一般性，设过点作交射线于，交射线于，则．为的中点注

3、意，知为的中点、调和分裂线段．推论l梯形的两腰延长线的交点，两对角线的交点，调和分割两底中点的联线段，证明如图15-3，在梯形中，，是两腰延长线的交点，是两对角线的交点，联结并延长交于，交于，则，，即，．此两式相乘，相除得，，即，，亦即、分别为、的中点．联结，则对线束、、、来说，且，则由性质2（1）知、调和分割线段．（当然也可由而证．）推论2完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割．此即为第14章中的性质2，下面另证如下．证明如图15-4，在完全四边形中，、、是其三条对角线，设直线交于，交于．若，则由推论1知，点、调和分割线段．若，如图15-4，设直线与

4、直线交于点．联结，过点作直线交于，交于，交于，交于，则分别在、、中，有，，．于是，从而．又过点作交于，则．联结并延长交于，交于，则由为的中点，知为的中点，为的中点，在梯形中，点在上，则由推论1知，、调和分割，即有．于是，由平行线性质，有，即知、调和分割线段．联结并延长交于点，交于点，则上述证明知，在完全四边形中，、调和分割线段．对线束、、、，由性质2（2），知、调和分割，、调和分割．注：当时，也可看作直线与相交于无穷远点，此时，亦有、调和分割，、调和分割．推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边（或

5、其延长线）相交，所得线段被此对角线所在直线上的交点平分．证明如图15-5，点、、为完全四边形的三条对角线、、所在直线的交点，过点与平行的直线，与、交于点，，与，交于点、，分别对线束、、；、、、应用性质2（1）知，．同理，可证过点与平行的直线的情形，过点与平行的直线的情形．性质3对线段的内分点和外分点，以及直线外一点，给出如下四个论断：①是的平分线；②是的外角平分线；③、调和分割线段；④．以上四个论断中，任意选取两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题．证明（1）由①、②推出③、④，此时有，显然．（2）由①、③推出②、④．此时，可过点作交射线于点，交射线

6、于点，如图15-6．则由性质2（1）知，从而知，亦知，亦即有平分的外角．（3）由①、④推出②、③．此时，推知是的外角平分线，由此即知、调和分割线段．（4）由②、③推出①、④．此时，结论显然成立．（5）由②、④推出①、③．此时，不妨设，．由知，，由正弦定理（或共角比例定理）有，亦即有．从而知平分，由此亦推知是的外角平分线。下面给出性质3的一系列推论：推论4三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割．推论5不相等且外离的两圆圆心联线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割．推论6若、两点调和分割圆的直径、，则圆周上任一点到、两点的距离之比是不等于1的常数；反之

7、，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数．则该动点的轨迹是一个圆（即为阿波罗尼奥斯圆）．推论7从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点联线，垂直于这条联线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割．证明如图15-7，、为的两条割线交于，，直径弦，则，联结、，则知平分．设直径所在之心啊交于，交于．由，且平分，则知、调和分割．推论8一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交（即交点处的切线互相垂直）．证明如图15-8，已知与相交于点，过、，为的直径，且、、、共线．、调和分割平分注意到，有为的切线，

8、即．推论9设点是的内心，角平分线交边于