2017学年中数学人教a版选修2-3课堂导学：2.3.2离散型随机变量的方差word版含解析

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1、课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX，DX.X-101P1-2qq2思路分析：依题意，先应按分布列的性质，求出q的数值后，再计算出EX与DX.解析：由于离散型随机变量的分布列满足(1)pi≥0,i=1,2,3,…;(2)p1+p2+…+pn+…=1.故解得q=1-故X的分布列为X-101P∴EX=(-1)×+0×(-1)+1×()=-+（-）=1-DX=［-1-（1-)］2×+（1-）2×（-1）+［1-（1-)］2×()=（-2）2×+（-1）3+2()=-1温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与

2、方差的计算公式，即EX=（-1）×+0×(1-2q)+1×q2=q2-;DX=［-1-(q2-)］2×+(q2-)2×(1-2q)+［1-(q2-)］2×q2这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例2】设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量

3、之间的关系.解：设成功次数为随机变量X，由题意可知X—B（100，p），那么σX=，因为DX=100p(1-p)=100p-100p2（0≤p≤1）把上式看作一个以p为自变量的一元二次函数，易知当p=时，DX有最大值25.所以的最大值为5，即当p=时，成功次数的标准差的最大值为5.温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1.三、方差的应用【例3】海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2（单位：s），其分布列如下：X1-2-1012P0.050.050.80.050.0

4、5X2-2-1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.解：∵EX1=0,EX2=0∴EX1=EX2∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2∴DX1＜DX2由上可知，A面大钟的质量较好.温馨提示随机变量X的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=则体现随机变量取值与其

5、均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X1、X2，且EX1=EX2或EX1与EX2比较接近时，我们常用DX1与DX2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X较为离散，反之则表明X较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X与其均值的偏差较大，反之，则表明X与其均值的偏差较小.各个击破【类题演练1】若随机事件A在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.解析：由题意得ξ的分布列为ξ01P1-2a2a∴Eξ=0×(1-2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a=(1-2a)2a(2a+1-2a)=

6、2a(1-2a)=-4［a-］2+由分布列的性质得0≤1-2a≤1且0≤2a≤1∴0≤a≤∴当a=时Dξ最大值为；当a=0或时Dξ的最小值为0.【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5.ξ≈1表示一发即中，故概率为P（ξ=1）=0.8ξ=2，表示第一发未

7、中，第二发命中，故P（ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16；ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P（ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故P（ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.0064；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，故P（ξ=5）=（1-0.8）4=0.0016，因此，它的分布列为ξ12345P0.80.160.0320.00640.0016Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.0064+5×0.0016=1.25.Dξ=(1-1