矩阵算法经典题目

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时间:2018-07-22

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1、经典题目  这里我们不介绍其它有关矩阵的知识,只介绍矩阵乘法和相关性质。不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中,一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵,得到的结果是一个n行p列的矩阵,其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如,下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵,其结果是一个2行3列的矩阵。其中,结果的那个4等于2*2+0*1:  右面的算式则是一个1x3的矩阵乘以3x2的矩阵,得到一个1x2的矩阵:  矩阵乘法的两个重要性质:

2、一,矩阵乘法不满足交换律;二,矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢?因为交换后两个矩阵有可能不能相乘。为什么它又满足结合律呢?假设你有三个矩阵A、B、C,那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和(枚举所有的k和l)。经典题目1  给定n个点,m个操作,构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转  这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转(两种情况),旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟,那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m

3、)的时间里把所有操作合并为一个矩阵,然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置,总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y,下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来,再乘以(x,y,1),即可一步得出最终点的位置。经典题目2  给定矩阵A,请快速计算出A^n(n个A相乘)的结果,输出的每个数都modp。  由于矩阵乘法具有结合律,因此A^4=A*A*A*A=(A*A)*(A*A)=A^2*A^2。我们可以得到这样的结论:当n为偶数时,A^n=A^(n/2)*A^(n/2);当n为奇数时,A^n=A^(n/2)

4、*A^(n/2)*A(其中n/2取整)。这就告诉我们,计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如,为了算出A^25的值,我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果,我们可以在计算过程中不断取模,避免高精度运算。经典题目3  POJ3233(感谢rmq)  题目大意:给定矩阵A,求A+A^2+A^3+...+A^k的结果(两个矩阵相加就是对应位置分别相加)。输出的数据modm。k<=10^9。  这道题两次二分,相当经典。首先我们知道,A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如,当k=6时,有:  A+A^2+A^3+A^

5、4+A^5+A^6=(A+A^2+A^3)+A^3*(A+A^2+A^3)  应用这个式子后,规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A+A^2+A^3,即可得到原问题的答案。经典题目4  VOJ1049  题目大意:顺次给出m个置换,反复使用这m个置换对初始序列进行操作,问k次置换后的序列。m<=10,k<2^31。  首先将这m个置换“合并”起来(算出这m个置换的乘积),然后接下来我们需要执行这个置换k/m次(取整,若有余数则剩下几步模拟即可)。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如,将1234置换为3124,相当于下面的矩阵乘法:  置换k/m次就相当于在前

6、面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方,再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴,得意之时就是你灭亡之日,别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。经典题目5  《算法艺术与信息学竞赛》207页(2.1代数方法和模型,[例题5]细菌,版次不同可能页码有偏差)  大家自己去看看吧,书上讲得很详细。解题方法和上一题类似,都是用矩阵来表示操作,然后二分求最终状态。经典题目6  给定n和p,求第n个Fibonacci数modp的值,n不超过2^31  根据前面的一些思路,现在我们需要构造一个2x2的矩阵,使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵,

7、这两个数就会多迭代一次。那么,我们把这个2x2的矩阵自乘n次,再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想,这个2x2的矩阵很容易构造出来:经典题目7  VOJ1067  我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项,其对应矩阵的构造方法为:在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1,矩阵第n行填对应的系数,其它地方都填0。例如,我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n)=4f(n-1)-3f(n-2)+2f(n-4)的第k项:  利

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