2011年考研数学试题数学一

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1、2011年考研数学试题（数学一）一、选择题1、曲线的拐点是（）（A）（1，0）（B）（2，0）（C）（3，0）（D）（4，0）【答案】【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。【解析】由可知分别是的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知，，，，故（3，0）是一拐点。2、设数列单调减少，，无界，则幂级数的收敛域为（）（A）(-1，1]（B）[-1，1)（C）[0，2)（D）(0，2]【答案】【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。【解析】无界，说明幂级数的收敛半径；单调减少

2、，，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径。因此，幂级数的收敛半径，收敛区间为。又由于时幂级数收敛，时幂级数发散。可知收敛域为。3、设函数具有二阶连续导数，且，，则函数在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A）(B)(C)(D)【答案】【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。【解析】由知，，所以，，要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需，所以有4、设，则的大小关系是()（A）（B）（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。【解析】时，，因此，故选（B）5.设为3

3、阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵.记,,则()（A）（B）（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（D）6、设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则基础解系可为（）(A)(B)(C)(D)【答案】【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。【解析】由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又，所以线性相关，故或为极大无关组，故应选（

4、D）7、设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是()（A）（B）（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。【解析】检验概率密度的性质：；。可知为概率密度，故选（）。8、设随机变量与相互独立，且与存在，记,，则（）(A)(B)(C)(D)【答案】【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理，有一定的灵活性。【解析】由于可知故应选（B）二、填空题9、曲线的弧长=【答案】【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。【解析】10、微分方程满足条件的解为【答案】【考点分析】本题考查一阶线性微分方程

5、的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。【解析】原方程的通解为由，得，故所求解为11、设函数，则【答案】【考点分析】本题考查偏导数的计算。【解析】。故。12、设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分【答案】【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。【解析】曲线的参数方程为，其中从到。因此13、若二次曲面的方程为，经正交变换化为，则【答案】【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值

6、的相关性质可以解出。【解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为。该二次型的矩阵为，可知，因此。14、设二维随机变量服从，则【答案】【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。【解析】：由于，由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。由于服从，可知，则。三、解答题15、（本题满分10分）求极限【答案】【考点分析】：本题考查极限的计算，属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。【解析】：16、（本题满分9分）设，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取得极值，求【答案】

7、【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。【解析】：由于在处取得极值，可知。故17、（本题满分10分）求方程不同实根的个数，其中为参数【答案】时，方程只有一个实根时，方程有两个实根【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。【解析】：令，则，，（1）当时，，在单调递减，故此时的图像与轴与只有一个