四色问题与五色定理

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1、四色问题与五色定理（趣味力学），谢建华，非线性动力学讨论班，2009.12.11四色问题与五色定理摘要：1852年一位伦敦的大学生替他的哥哥向数学家DeMorgan提出了一个问题：任何一张地图是否仅需要四种颜色即可将所国家着色，并且所有相邻的国家具不同的颜色？这就是著名的四色问题或四色猜想。时隔一百多年后的1976年，美国伊利诺斯大学的两位教授Appel和Haken利用计算机肯定了四色猜想的正确性，但是数学家寻求“人工”证明至今未果，这真是对人类智慧的考验。本报告将用十分钟的时间介绍四色问题的历史和图论方面的一些基本知识，

2、以及五色定理的证明过程。希望大家在讨论班上度过一个愉快的周五下午。本报告的内容主要根据文献[1]编写。1.四色问题的历史1852年10月23日英国数学家AugustusdeMorgan写信给三一学院的友人数学家WilliamRowanHamilton，信中写道：“我的一个学生今天要我为他提供一个充分的理由，来说明一件我自己还无法判明究竟是对还是错的事实。他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界线的两个部分都要涂上不同的颜色，那么，大概需要四种颜色，而不需要更多的颜色就可以了。请问：难道不能够构造出一个需要五

3、种或者更多种颜色的图吗？”这就是所谓的四色问题，可惜Hamilton并没有重视这个问题。二十六年之后，在1878年6月13日的伦敦数学会上，数学家Cayley正式提出了四色问题。这个问题引起了很多人的兴趣，包括很多业余爱好者，其中有师律出身的Kempe和法国文学教授Mayer等。Kempe曾声称自己已经解决四色问题。后来不久，就被当时才二十多岁的Heawood指出其证明中的漏洞。Heawood一生研究四色问题共六十年，发表过几篇重要的论文，虽然没有最后解决四色问题，却证明了五色定理(1890)，又称Heawood定理。19

4、13年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色，推进了四色问题的研究。70年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集，因为用它可以通过数学归纳法证明四色问题。1976年美国伊利诺斯大学的两位教授Appel和Haken采用Kampe在1879建立的一种思想，利用计算机肯定了四色猜想的正确性。Appel和Haken花了1200多小时的电子计算器工作时间，找到一个由1936个可约构形所组成的不可免完备集，因而在美国数学会通报上宣称证明了四色猜想。后来

5、他们又将组成不可免完备集的可约构形减至1834个。四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑、有限射影几何和计算器编码程序设计等理论的发展起了推动作用。2.平面图与欧拉公式一个图是由一些点和线构成，这些点称为顶点，线称为边，如图1。7四色问题与五色定理（趣味力学），谢建华，非线性动力学讨论班，2009.12.11图1平面图如果一个图能画在平面上，而各边不相交，这样的图称为平面图，否则称为非平面图。图1(a)是平面图，实际上，图1(b)也是平面图，因为它们是同构的。任何一个凸多面体都可以用一个平面图来表示，如图2(a)是正六面体和

6、其在平面上表示，图2(b)是正十二面体和其在平面上表示。图2(a)正六面体；(b)正十二面体对凸多面体有著名的欧拉公式(1)其中、、分别是凸多面体的顶点数、边数和面数。例如，对正六面体：、、；正十二面体：、、，(1)式都是成立的。如果一个图，对图的任何两个顶点都有由边构成的路将它们连接(关联)，此图称为连通的，否则称为不连通的。如图1和2中的图都是连通的，而图3是不连通的。显然一个不连通图是由若干个连通分支组成，如图3中的图有两个连通分支。7四色问题与五色定理（趣味力学），谢建华，非线性动力学讨论班，2009.12.11图

7、3不连通图定理1对任何一个连通的平面图，欧拉公式(2)成立。证：对边数用数学归纳法。当时，连通图有一个顶点和一面，即和，故(2)式成立。设对任意具有条边的平面连通图，(2)式成立。一个具有条边的平面连通图可由一个具有条边的平面连通图(图4(a))添加一条边而形成，如图4(b),(c)所示。由归纳假设，对图4(a)，(2)式成立。对图4(b)中的增加边方式，图的顶点数未变，而边数和面数与图4(a)相比，各增加1，(2)式仍然成立；对图4(c)中的增加边的方式，图的面数未变，而顶点数和边数各增加1，(2)式仍然成立。由归纳法，

8、(2)式对任意的平面连通图成立。图4(a)条边的平面连通图；(b)和(c)条边的平面连通图现在来谈地图着色问题了。地图着色问题中，我们假定任何一个国家是由7四色问题与五色定理（趣味力学），谢建华，非线性动力学讨论班，2009.12.11一个单连通的区域组成，任意两个相邻国家之间的边界只有一条。如图5(a