新疆智慧城市在建或已建项目

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1、2.2.1第2课时　分析法及其应用1．了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2．理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理　分析法阅读教材P38～P39“例4”以上内容，完成下列问题．1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示→→→…→判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．(　　)(2)

2、分析法的推理过程要比综合法优越．(　　)(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．(　　)【解析】　(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√11[小组合作型]应用分析法证明不等式　已知a>b>0，求证：<－<.【精彩点拨】　本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立

3、的充分条件．【自主解答】　要证<－<，只需证<<.∵a>b>0，∴同时除以，得<1<，同时开方，得<1<，只需证＋<2，且＋>2，即证<，即证bb>0，∴原不等式成立，即<－<.1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．[再练一题]1．已知a＞0，b＞0，求证＋≥＋.【证明】　要证＋≥＋，11只需证a

4、＋b≥(＋)，只需证()3＋()3≥(＋)，只需证(＋)(a－＋b)≥(＋)，只需证a－＋b≥，只需证(－)2≥0，(－)2≥0显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题　求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．【精彩点拨】　【自主解答】　如右图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证

5、MM′

6、＝

7、AB

8、.由抛物线的定义有

9、AA′

10、＝

11、AF

12、，

13、BB′

14、＝

15、BF

16、，所以

17、AB

18、＝

19、AA′

20、

21、＋

22、BB′

23、，因此只需证

24、MM′

25、＝(

26、AA′

27、＋

28、BB′

29、)．根据梯形的中位线定理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．11[再练一题]2．已知＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．【证明

30、】　要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证＝3，只需证＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－.∵＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－显然成立，∴结论得证．[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1　综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2　综合法与分析法有什么区别？【提示】　综合法是从已知条件出发

31、，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．　在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．【精彩点拨】　可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．【自主解答】　由已知条件得消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥，因≤，只需证a＋1≥，即证2a≥b＋c.由于2a＝＋，11故只需

32、证＋≥b＋c，只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命