第4章理论力学习题解

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1、4.1一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m，比例系数为k，如此质点从距原点O为a的地方由静止开始运动，求其到达O点所需的时间。解：质点受引力为：，其运动微分方程为：（1）即：分离变量积分：（2）（v与x反向，取负值）令：，代入（2）式得；分离变量积分：故到达O点所需的时间为：4.2一质点受力作用，求势能与运动微分方程的解。解：适当选取势能零点，使，则机械能常量（1）将（1）改写成（2）质点运动微分方程：-26-（3）（3）+（2）得即（4）（4）式通解：当时，解得，所以4.3若质

2、点受有心力作用而在圆上运动时，则，式中为质量，为速度矩。试证明之。解：由，代入比耐公式：4.4质点在有心力作用下运动，此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率则于此距离成反比，即，如果，求质点的轨道方程。设当.解：取平面极坐标系，其速度为：，代入上式得：-26-分离变量积分：所以质点的轨道方程为：4.6质点所受的有心力如果为，其中都是常数，并且，则其轨道方程可写成：试证明之。式中（A为积分常数）。证：由比耐公式：，上式变为：令：，上式变为：其解为：-26-极轴转动角度，使得，则有：于是：令：，则：

3、令：，则有：其中：（A为积分常数）4.7若行星突然在其轨道上某处停止运动（假定轨道为圆形），则它将被吸引至太阳，所需时间为原有周期的倍，试证明之。证：设行星在半径为的圆形轨道上运动，由则原有周期：（1）行星运动微分方程为：即：（2）分离变量积分：（3）令：，代入（3）式得；-26-积分：即行星被吸引至太阳所需的时间为：（4）（4）和（1）相比得：4.8试导出下面有心力量值的公式：。式中m为质点的质量，r为质点到力心的距离，p为力心到轨道切线的垂直距离。证：由动能定理：4.9质量为的质点，受的有心力作用，为

4、质点对力心的位矢，为常数。试证明下列三定律：（1）绕力心运行轨道是椭圆；（2）位矢在单位时间内扫过的面积相等；（3）周期与椭圆形状无关，只取决于和。解：（1）采用直角坐标系，如图。质点的运动微分方程为：（1）（2）（1）（2）式的通解为：-26-极轴转动角度，使得，则：（3）（4）消去时间参数，得：——椭圆方程（2）质点受有心力作用，故质点对力心O的角动量守恒，即（常数）在时间内，位矢扫过的面积：（常数）（5）即位矢在单位时间内扫过的面积相等（3）质点初始角动量：由(5)式得：周期4.10如及为质点在近日

5、点及远日点处的速率，试证明：证：质点在有心力作用下，角动量守恒：圆锥曲线轨道方程：-26-在近日点：在远日点：于是所以：-26-