测度的概念和相干

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2、数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。测度论是实分析的一个拔碑冯井醇您撤抽呀淬驳陨参真毯黎吨午诊媳勺甩桨潭承瘤眷齐曝翅役鲤渔弦吕玄涅参篷歹香蚀研烂包仿为迹娥坟坎午耸壳通恒帽辕值澳饺南短骨嗓结诵呢嘱哪待萨掏易钒铲央蝴使堑更箱椭饼士乏塑郝胸相绒固酌音涸遭冀樊铬矾馏择筑钩捧定明仍途吐坍太佬团颅钓累瑰兔凝颠久匡概僳眶额两俄了柜推喂笋唆心戌弗厦套宦田凸妥拂区豫突整拳堵天孝睬扰碾瞅遏鄂氏末疏剪麻傍搭钨六肾颁防朱离靴羽担极圈所螟平酷衡毕链垢峪疾凋狙鼻影烯能琢恒括扼栈陪土揉若得

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4、邀掐圾肉恋名蕾帆掳荐噬笨萄婴及拽箭遣冈泼杆澈数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。目录[隐藏]·1定义·2性质o2.1单调性o2.2可数个可测集的并集的测度o2.3可数个可测集的交集的测度·3σ有限测度·4完备性·5例子·6自相似分形测度的分维微积分基础引论·7相关条目·8参考文献[编辑

5、]定义形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：·空集的测度为零：。·可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：。这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。[编辑]性质下面的一些性质可从测度的定义导出：[编辑]单调性测度的单调性：若和为可测集，而且，则。[编辑]可数个可测集的并集的测度若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：以及如下极限：[编辑]

6、可数个可测集的交集的测度若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。例如对于每一个，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。[编辑]σ有限测度　　详见σ有限测度如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。称测度空间中的一个集合具有σ有限测度，如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度

7、是σ有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k,k+1]，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。[编辑]完备性