常用数值计算方法及仿真软件简介a

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1、1.1.1常用数值计算方法自1864年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁波理论与应用的发展已经过了100多年的历史。对电磁分布边值问题的求解从图解、模拟、解析到目前所采用的数值计算方法，经历了四个过程。解析方法只能解决一些经典问题，具体到复杂的实际环境，往往需要通过数值解得到具体环境中的电磁波特性。随着高速和大容量计算机技术的飞速发展，电磁数值计算已经发展成为一门新兴的重要学科，已提出多种实用有效的求解麦克斯韦方程的数值方法，主要有矩量法（MOM）、有限元法（FEM）、有限积分法（FIT）、和时域有限差分法（FDTD）等。基于这些数值计算方法开发出了许多优秀的电

2、磁仿真软件。一个好的数值算法可以很接近地模拟出微波器件的特性，这对于工程设计和研究而言，可以避免很多次的“cut-and-try”（试凑），节省时间从而提高了效率。求解电磁问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell方程的解，借助于计算数学中的数值算法能够得到大多数电磁问题的近似解。数值算法的基本思想就是把连续变量函数离散化，把微分方程化为差分方程；把积分方程化为有限和的形式，从而建立起收敛的代数方程组，然后利用计算机技术进行求解。目前常见的几种数值分析方法如表Error!Notextofspecifiedstyleindocument.1电磁数值算法分类

3、所示。针对本论文所应用到的方法，下面简要叙述常用的几种数值方法及相应的商业软件。表Error!Notextofspecifiedstyleindocument.1电磁数值算法分类数值算法频域方法积分形式矩量法(MOM)微分形式有限差分法(FDM)有限元法(FEM)时域方法积分形式有限积分法(FIT)微分形式时域有限差分法(FDTD)高频近似绕射几何理论(GTD)一致性绕射(UTD)一致性渐进(UAT)绕射物理理论(PTD)绕射谱理论(STD)101.1.1.1有限元法基于有限元方法(FEM)计算电磁问题，其基本构想是将由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分

4、成有限个小区域，每个小区域用一个选定的近似函数来代替，于是整个场域上的函数被离散化，由此获得一组近似的代数方程，并联立求解，以获得该场域中函数的近似数值。广义的来说，三维麦克斯韦方程是三维电磁问题的三维支配方程，但是，一般情况下为了方便求解和建模，大多选取由麦克斯韦方程组的前两个旋度方程导出的电场强度满足矢量亥姆赫兹方程作为支配方程。如AnsoftHFSS软件[]的支配方程为：(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.1)由变分原理，上式的泛函可以写为：(Error!Notextofspecifiedstyleindocum

5、ent.2)将这一个三维问题的泛函通过多面体离散成单元小矩阵，矩形块、四面体和六面体等都可以被选用做基本的离散单元，但是，不同离散单元对于有限元运算的精度、速度和内存需求都有不同。AnsoftHFSS软件采用四面体作为基本离散单元，如图Error!Notextofspecifiedstyleindocument.1所示，并选用上一世纪80年代以后才被应用于电磁学中的棱边元作为矢量基函数。假设图Error!Notextofspecifiedstyleindocument.1所示的四面体内的未知函数能够近似为(Error!Notextofspecifiedsty

6、leindocument.3)10图Error!Notextofspecifiedstyleindocument.1四面体单元则用四个顶点处的值()来表示：(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.4)式中插值函数为(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.5)而有下列等式获得：(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.6)(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.7)(Error!Notextofsp

7、ecifiedstyleindocument.8)(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.9)其中(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.10)10在利用变分原理和离散化方法建立了有限元矩阵方程后，我们就面临着求解以结点值为未知数的矩阵方程。将方程写为(Error!Notextofspecifiedstyleindocument.11)式中系数矩阵A是一个n×n方阵，x是待求解的未知量，b表示已知向量。求得这个矩阵方程得到问题空间的电磁场解，并进而求得所需参数，例如散射参数等。

8、1.1.1