义务教育高考数学-一轮复习热点难点精讲精析 8.3曲线与方程

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1、高考一轮复习热点难点精讲精析：8.3曲线与方程（一）用直接法求轨迹方程※相关链接※1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含、的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。⒉运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.（2）若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.※例题解析※〖例〗如图所示，设动直线垂直于x轴，且与椭圆

2、交于A、B两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。思路解析：设P点坐标为(x,y)求出A、B两点坐标代入求P点轨迹标明x的范围。解答：设P点的坐标为(x,y)，则由方程，得，∴，∴A、B两点的坐标分别为，又，∴，即又直线与椭圆交于两点，∴-2

3、近几年来高考的热点之一。注：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制※例题解析※〖例1〗（1）已知圆C:x2+y2+6x-91=0及圆内一点P(3,0),则过点P且与圆C内切的动圆圆心M的轨迹方程为________.(2)已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【方法诠释】(1)由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系

4、CM

5、=10-r(r为动圆M的半径)，再注意

6、PM

7、=r，从而有

8、CM

9、+

10、

11、PM

12、=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；(2)由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出

13、C1P

14、=r+3，

15、C2P

16、=r+1，由此得到

17、C1P

18、-

19、C2P

20、=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.解析：(1)因为圆C:x2+y2+6x-91=0的方程可化为：(x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为C(-3,0)，半径为10；设动圆圆心M的坐标为M(x,y)，半径为r，因为圆C与动圆M内切，所以

21、CM

22、=10-r，又因为动圆过点P，所以

23、PM

24、=r，因此

25、CM

26、+

27、PM

28、=10＞6=

29、CP

30、，所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴长为10，焦距等

31、于6，所以椭圆方程为：+=1，即所求轨迹方程.答案：+=1（2）设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，因为动圆P与圆C1外切，所以

32、C1P

33、=r+3，又动圆P与圆C2外切，所以

34、C2P

35、=r+1，因此

36、C1P

37、-

38、C2P

39、=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支（右支）.由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，8所以所求轨迹方程为x2-=1(x≥1).〖例2〗如图所示，一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线

40、。思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义。解答：方法一设动圆圆心为M（x,y）,半径为R，设已知圆的加以分别为、，将圆的方程分别配方得：，当动圆与圆相外切时，有

41、M

42、=R+2…………①当动圆与圆相内切时，有

43、M

44、=R+2……………②将①②两式相加，得

45、M

46、+

47、M

48、=12>

49、

50、，∴动圆圆心M（x,y）到点（-3，0）和（3，0）的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为点（-3，0）、（3，0），长轴长等于12的椭圆。∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6∴∴圆心轨迹方程为，轨迹为椭

51、圆。方法二：由方法一可得方程移项再两边分别平方得：8两边再平方得：，整理得所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆。注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。（2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。（

52、3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾