固体物理学答案123

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1、第二章固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（）和库仑相互作用能，设离子的总数为。＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为当X=1时，有2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为试求：（1）平衡间距；（2）结合能（单个原子的）；（3）体弹性模量；（4）若取，计算及

2、的值。解：（1）求平衡间距r0由，有：结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）29（2）求结合能w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin即：（可代入r0值，也可不代入）（3）体弹性模量由体弹性模量公式：（4）m=2，n=10，，w=4eV，求α、β①②将，代入①②（1）平衡间距r0的计算晶体内能平衡条件，，（2）单个原子的结合能，，2

3、9（3）体弹性模量晶体的体积，A为常数，N为原胞数目晶体内能由平衡条件，得体弹性模量（4）若取29，，，2.6、bcc和fccNe的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值．＜解＞2.7、对于，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为计算fcc结构的的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．＜解＞以为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则

4、晶体的总相互作用能为：因此，计算得到的晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．2929第三章固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链，其中第个格波，在第个格点引起的位移为，，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即（1）由于数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此

5、上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以由于是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为（2）已知较高温度下的每个格波的能量为KT，的动能时间平均值为其中L是原子链的长度，使质量密度，为周期。所以（3）29因此将此式代入（2）式有所以每个原子的平均位移为3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当=时与一维单原子链的结果一一对应。解：质量为的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；质量为的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛顿运动方程N个原胞，有2N个独立的方程

6、设方程的解，代回方程中得到A、B有非零解，，则两种不同的格波的色散关系一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.当时，两种色散关系如图所示：29长波极限情况下，，与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为。试求在处的，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如这样的双原子分子晶体。答：（1）浅色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；深色标记原子位于2n，2n+2，2n+4……。第2n个原子和第2n＋1

7、个原子的运动方程：体系N个原胞，有2N个独立的方程方程的解：，令，将解代入上述方程得：A、B有非零的解，系数行列式满足：29因为、，令得到两种色散关系：当时，，当时，，（2）色散关系图：3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有求证：;.＜解＞依据，并带入上边结果有3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与。证明：在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积，且29则，3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为证明:量子谐振子的自由能为

8、经典极限意味着（温度较高）应用所以因此其中3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能就是各振动模零点能之和。和代入积分有，由于29一股晶体德拜温度为~，可见零点振动能是相当大的，其量值可