★二次函数存在性问题及解答

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1、初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答．（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．(1）求抛物线的解析式；(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．图2xyCB_D_AO答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程∴解之得：；故为所求(2）如图2，连接BD，交y轴于

2、点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有，，故BD的解析式为；令则，故(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，图3易知BN=MN=1，易求；设，依题意有：，即：解之得：，，故符合条件的P点有三个：xyO11．(10北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。(1)求点B的坐标；(2)点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE

3、。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有

4、一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。答案：解：(1)∵拋物线y=-x2+x+m2-3m+2经过原点，∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m¹1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y=-x2+x，∵点B(2，n)在拋物线y=-x2+x上，∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。OABCDEPyx图1(2)j设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)，根据题意作等腰直角

5、三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得2a=-´(3a)2+´3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0(舍去)，∴OP=。k依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y=-x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单

6、位。∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t=。第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10，∴t=。综上，符合题意的图4yxBOQ(P)NCDMEFt值分别为，2，。xyOAM(

7、C)B(E)DPQFN图3ExOABCyPMQNFD图2．（10贵州遵义）如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2

8、，-1）∴设将C（0，3）代入上式，得∴，即(2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0,得解之得,∵点A在点B的右边,∴B(1,0),A(3,0)∴P1(1,0)②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)∵OA=OC,∠AOC=,∴∠OAD2=当∠D2AP2=时,∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2