第九讲一元微积分的应用

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1、第九讲一元微积分的应用§1函数单调增减性的判别定理：设函数在内恒有（），则在内是单调增的（或单调减的），记为：（或）。注意：个别点处不影响的单调性。例：时，但是应用：一．判别单调性：例1：设函数在连续，。在内可导，单调增，令。证明：在在内单增。证明：（单调增，）；故在在内单增。二．求单调区间例2：设，求的单减区间。解：，令；当时，，所以单调减；当时，，所以单调增；的单减区间为：或者。三．证明不等式例3：证明：时，证明：令：，则：；，；，；故；即：。§2函数的极值与最值定义：设函数在的临域内有定义，为该临域内异于的任一点，若恒有（

2、或），则称为的极小值（极大值）。极大值与极小值统称为极值。使函数取极值的点为极值点。注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；极大值不一定比极小值大。定义：使的解，称为得驻点。为的驻点，不能为的极值点；同样，为的极值点，不能为的驻点。例如：为的驻点，不能为的极值点；为的极小值点，不能为的驻点。：（取极值的必要条件）设为的极值，又在处可导，则。：（取极值的充分条件）设在的邻域内可导（在处可以不存在，但必须在处连续），若：①：；：或不存在为的极小值；②：；：或不存在为的极大值；③若在的两侧不变号，则不是的极值。：设

3、在的邻域内二阶可导，且，。当时，为的极小值；当时，为的极大值。极值的求法：①求：求出驻点及使不存在的点，设为；②利用定理2或定理3判别是否为极值点，并判别类型；③求出极值。最值的求法：①求：求出驻点及使不存在的点，设为；②求出：若在连续，也求出；③比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。例1：设函数在的邻域内连续，且，，则在处，[]：（A）不可导（B）可导但（C）取极大值（D）取极小值解：，其中，故答案为C。例2：设为微分方程的解，，则在处[]：（A）的邻域内单增（B）的邻域内单减（C）取极大值（D）取极小值解

4、：。故为的极小值。故选C。例3：连续，且，，则在处，[]：（A）取极大值（B）取极小值（C）为拐点（D）不取极值也在处不是拐点解：当时，，在的邻域内，为的极小值。故选B。例4：设，讨论在处的极值。解：，其中。①当时，为偶数时，，为的极小值；②当时，为偶数时，，为的极大值；③当为奇数时，不保号，不是的极值；例5：求抛物线到轴上的定点的最短距离。解：令：①当时，为的最小值点，也即的最小值点。②当时，为的最小值点，也即的最小值点。。§3函数图形的凹凸性及拐点定义：设函数在上有定义，，若恒有（或），则在上为凸的（或凹的）。：设函数在上二

5、阶可导，若（或）。则的图形在上为凹的（或凸的）。例：设为连续函数的正函数，令。判别在上的凹凸性。解：（为正函数）故：的图形在上为凹的。定义：函数的图形凹凸的分界点称为的拐点。：设函数在的邻域内二阶可导，在处可不存在，但必须连续。若在处的邻域内变号，则为拐点；若在处的邻域内不变号，则不是拐点。：设函数在的邻域内三阶可导，且，，则为拐点。§4渐近线一．水平渐近线设，若或者，则或者称为的水平渐近线。若极限中含有或者，求时的极限，一定要分别求出和时的极限。例如：为的水平渐近线。一．铅直渐近线设，若或者，或者则为的水平渐近线。铅直渐近线的

6、求法：①求出使没有定义的点；②由铅直渐近线的定义进行检验。二．斜渐近线设，若则为的斜渐近线。可以看出，若为的有理分式函数，则仅当的分子关于的最高次数比关于的最高次数恰好大于1时，才有斜渐近线。例：求的斜渐近线。解：；；故斜渐近线为：。例1：求的渐近线。解：①先求水平渐近线：；；和为的水平渐近线。②再求铅直渐近线使没有定义的点为：。；；。由上可知：为的斜渐近线。③再看有无斜渐近线，所以没有斜渐近线。例2：求的斜渐近线。解：。令代入方程得：；；；故斜渐线为：，即。§5方程根的研究一．方程根的存在性证明方程根的存在性的证明通常是转化为

7、相应函数零值的存在性的证明。证明：用①零值定理；②洛尔定理。例1：设在上连续，，又。证明：一个，使。证明：不妨设，则：。，由极限的保号定理，一个。当时，；取一个，使；同理：，由极限的保号定理，一个。当时，；取一个，使；可知，在上或者上满足零值定理，故一个，使。二．关于方程根的个数的研究解题程序：①转化为相应函数零值个数的研究；②求。求出驻点和使不存在的点，得出单调区间及极值或最值。③分析的极值或最值与轴的相对位置，有时为了使问题更明朗，还要求出区间端点的极限值。例2：求方程在内实根的个数。解：；令，则；令；由表可知：在与分别至多

8、有一个零点。。。可知，在与分别至少有一个零点。在内有两个零点，即方程有两个实根。一．关于方程根的存在唯一性的证明要证明两点：①利用单调性证明相应的函数至多有一个零值；②利用零值定理或洛尔定理证明至少有一个零值。综上所述，命题得证。例1：设在内连续，在内可导，，又