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时间：2017-11-10
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1、1.设（1）计算其中L为螺旋线；（2）设A=（P，Q，R），求rotA；（3）问在什么条件下A为有势场？并求势函数。解（1）=++=（2）设A=（P，Q，R），则rotA===(3)因不论为何值，都有，所以A不是有势场，从而不存在势函数.2.证明:若,S为包围区域V的曲面的外侧,则(1);(2)为沿曲面S外法线方向的方向导数.其中u在区域V及其界面S上有二阶连续偏导数,为沿曲面S外法线方向的方向导数.证(1)===.(2)===.1.设S为光滑闭曲面，V为S所围的区域。函数在V与S上具有二阶连续偏导数，函数偏导连续.证明：(1)=-;(2)=-.证(1)由
2、高斯公式知:=.令,有=,即=-.(2)由(1)式用代替u可得=-.类似地可以得出:=-,=-.三式相加,再由一、二型曲面积分的关系可得=-1.设,S为一封闭曲面,.证明当原点在曲面S的外、上、内时，分别有证设为曲面S的单位法向量，则，当原点在S的外侧时，由奥高公式====当原点在曲面S的内侧时，作一个以原点为中心以R为半径的小球面，在S和之间的区域上应用奥高公式，则有==所以当原点在S上时，则所给曲面面积变为广义的。如果曲面S在原点处有一确定的切面，则.1.计算,其中S是柱面在和的部分.曲面侧的法向与x轴正向成锐角.解曲面S在xy平面上的投影区域为,其面
3、积为0,从而,如图22-1,有,故2.证明公式:,这里,>0,在时为连续函数.证设S为球面,则有考虑新坐标系,它与原坐标系共原点,且平面为坐标系的平面,轴过原点且垂直于该平面,于是有在新坐标系中,这里的S仍记为中心在原点的单位球面,将S表示为:,.从而
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