数学人教a版必修5一章1.2应用举例(第1课时)

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1、第1课时　距离问题1．复习巩固正弦定理、余弦定理．2．能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．[来源:学科网]1．正弦定理(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝______＝＝2R(在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径)．(2)应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：①已知两角与一边，解三角形；②已知两边与其中一边的对角，解三角形．[来源:学科网ZXXK]【做一做1】在△ABC中，a＝4，b＝3，A＝30°，则sinB等于(　　)A．1B.C.D.2．余弦定理(

2、1)定理：三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍．即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝____________，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)推论：cosA＝，cosB＝______________，cosC＝.(3)应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知三边，解三角形；②已知两边及其夹角，解三角形．【做一做2】在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝__________.3．基线在测量上，根据需要确定的适当线段叫

3、做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．答案：1．(1)【做一做1】C2．(1)平方　两　c2＋a2－2cacosB　(2)【做一做2】60°距离问题的处理方法剖析：(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．(2)测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求B

4、，C和A，C的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．距离测量问题是基本的测量问题．在初中曾经学习过应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量，这里涉及的测量问题是不可到达点的测距问题，要注意问题的差异．题型一测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题【例题1】如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．分析：在△ABC中利用正弦定理求出AB即可．反思：如图所示

5、，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；(3)用正弦定理解△ABC，得.题型二测量两个不可到达的点之间的距离问题【例题2】如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．分析：要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ADB)中，但不管在

6、哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△BCD中求出它们的值．反思：如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：(1)取基线CD；(2)测量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；(3)在△ACD中，解三角形得AC；在△BCD中，解三角形得BC；(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB=.答案：【例题1】解：在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°，则B＝180°－(A＋C)＝60°，由正弦定理，得AB＝．即A，B两点间

7、的距离为.[来源:学

8、科

9、网Z

10、X

11、X

12、K]【例题2】解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴AC＝CD＝.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.[来源:学.科.网]在△BCD中，由正弦定理，得BC＝＝.则在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝()2＋2－2×cos75°＝5.∴AB＝.∴两个目标A，B之间的距离为km.1已知A，B两地相距10km，B，C两地相距20km，且∠ABC

13、＝120°，则A，C两地相距(　　)A．10kmB．C．D．2设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离是100m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A，B两点的距离为__________m.3