高一数学 函数复习

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1、高一数学函数函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的

2、定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）

3、x∈A}叫做函数的值域.2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f

4、）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1)A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。5．分段函数：（举一例）。6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),xÎ(a,b),uÎ(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。题型讲解例1设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（）A

5、.8个B.12个C.16个D.18个解：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．故选D.例2集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.

6、答案：98例3A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）A.27B.9C.21D.12解：（1）当全是等号时，（即与B中的一个元素对应），则f有C个;（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C·C=12个;（3）有二个不等号的映射，f有C·C=6个。所以共有3+12+6=21个，答案选C。另一种解释法：将元素1，2，3，4，5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点。若只有一个象就让这一串整体对应有C＝3种方法；若恰有两个象就将这一串分为两段

7、，并按照大小顺序对应，有C·C＝12种方法；若恰有三个象就将这一串分为三段，并按照大小顺序对应，有C·C＝6种方法。根据分类计数原理，共有3+12+6=21个映射。故选C。例4试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个

8、函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）==

9、x

10、，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数f（x）=的定义域为{x

11、x≥0}，而g（x）=的定义域为{x

12、x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函

13、数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要