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1、分段函数1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数的定义域、值域.【解析】作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.练习1.设函数，则的值域是（ ）． Ａ． Ｂ．， Ｃ． Ｄ．【答案】D【解析】解得，则或．因此的解为：．于是当或时，．当时，，则，又当和时，，所以．由以上，可得或，因此的值域是．故选Ｄ．2．求分段函数的函数值例．已知函数求.【解析】因为,所以.例2求函数＝ 的值域．解：当≤－２时，， ∴ ≥－４． 当＞－２时，＝， ∴＞＝－１．∴ 函数的值域是｛∣≥－４，或＞－１｝＝｛∣≥－４｝．3．求分段函数的最值例1．求函数的最大值.【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.例2．已知＝
2、求的值． 解：∵ －３＜０ ∴ （－３）＝０， ∴ （（－３））＝（０）＝又＞０ ∴＝（）＝＋１．例3已知函数,求(<0)的值。解∵<0,∴,∵0<<1,∴==,∵>1,∴===－,ｘｙＯ１例4．已知函数＝ 求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．3求函数=+(2－6)+3(0≤≤1)的最小值。解 =[－(3－1)]2－6+6－1∵0≤≤1,当3－1<0时，的最小值为f(0)=3,当0≤3－1≤1时，的最小值为f(3－1)=－6+6－1；当3－1>1时，
3、的最小值为f(1)=3－6+3。因此函数的最小值可表示成关系于的分段函数.例5 求函数的最小值方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当≤0时,==2+3,此时显然有maX==3;当0<≤1时，==+3,此时max==4当>1时，==－+5，此时无最大值.比较可得当=1时,max=4.4．求分段函数的解析式例1．在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）【解析】当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式为,所以,当时,,将其图象沿轴
4、向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式,所以,综上可得,故选A.例2．如图３，动点从边长为１的正方形的顶点出发顺次经过再回到，设表示点的行程，表示的长度，求关于的表达式．解：如图3所示，当点在上运动时，；当点在上运动时，由，求得；当点在上运动时，由求出；图３当点在上运动时，，所以关于的表达式是在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识．例3 已知奇函数()，当>0时，=(5－)+1.求在R上的表达式。解 ∵是定义域在R上的奇函数，∴=0.又当＜0时，－>0,故有=－[5－(－)]+1=－(5+)+1。再由是奇函数
5、,=－=(5+)－1.∴5．作分段函数的图像例1．函数的图像大致是（）图1例２ 已知函数，画函数的图象.解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实．6．判断分段函数的奇偶性例1．判断函数的奇偶性.【解析】当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.7．判断分段函数的单调性例1．判断函数的单调性.【解析】显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,当时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递
6、增函数.例2．写出函数的单调减区间.【解析】,画图易知单调减区间为.3.（天津理8）设函数若，则实数的取值范围是（ ）． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】C【解析】若，则，即，所以，若则，即，所以，。所以实数的取值范围是或，即．故选C．4、已知是上的减函数，那么的取值范围是（A）（B）（C）（D）8．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数,则满足方程的的值为【解析】若,则,得,所以（舍去）,若,则,解得,所以即为所求.9．解分段函数的不等式例11．设函数,若,则得取值范围是（）【解析1】首先画出和的大致图像,易知时,所对应的的取值范围是.【解析2】因为,当时,,解得,当时,
7、,解得,综上的取值范围是.故选D.例12．设函数,则使得的自变量的取值范围为（）A．B.C.D.【解析】当时,,所以,当时,,所以,综上所述,或,故选A项.【点评：】以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.分
