北京四中2010-2011学年度第一学期高三年级试卷以及答案

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1、北京四中2010-2011学年度第一学期高三年级开学测试数学试卷（理）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．设，，给出四个图形，其中以集合为定义域，为值域的函数关系的是（）2．已知，，为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知，，则等于（）A．7　　　B．　　　C．　　　　D．4．函数的图象为，则下列论断中，正确论断的个数是（）⑴图象关于直线对称；⑵函数在区间内是增函数；⑶由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象．A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．35．已知等差数

2、列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过原点），则（）A．100　　　B．101　　　C．200　　　D．2016．已知随机变量服从正态分布，，则（）A．　　　B．　　　C．　　　D．7．一组抛物线，其中为2，4，6，8中任取的一个数，为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）A．　　　B．　　　C．　　　D．8．函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则直线与函数图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．5二、填空题（每题5分，共30分）9．的值域为___________．10．的展开式中，的系数是_

3、__________．11．由一条曲线（其中）与直线，以及轴所围成的曲边梯形的面积是______．12．已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若恒成立，则实数的取值范围是___________．13．在中，为边上一点，，，，若的面积为，则___________．14．定义映射，其中，．已知对所有的有序正整数对满足下述条件：①；②若，；③．则的值是___________；的表达式为___________．（用含的代数式表示）．三、解答题（共6题，共80分）15．（本小题满分13分）解关于的不等式．16．（本小题满分13分）甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则

4、停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．⑴求甲恰好得30分的概率；⑵设乙的得分为，求的分布列和数学期望；⑶求甲恰好比乙多30分的概率．17．（本小题满分13分）已知：向量与共线，其中是的内角．⑴求：角的大小；⑵若，求面积的最大值，并判断取得最大值时的形状．18．（本小题满分13分）已知：如图，长方体中，、分别是棱，上的点，，．⑴求异面直线与所成角的余弦值；⑵证明平面；⑶求二面角的正弦值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　19．（本小题满分14分）已知：函数是定义在上的偶函数，当时，（为实数

5、）．⑴当时，求的解析式；⑵若，试判断在上的单调性，并证明你的结论；⑶是否存在，使得当时，有最大值1？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知：函数，．⑴若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；⑵关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；⑶对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得不等式和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：题号12345678答案BBCCADBD　二、填空题：9．　　　　　10．1890　　　　11．12．　　　　13

6、．　　　　14．6；三、解答题（共6题，共80分）15．解：　　⑴当时，，即：；　　⑵当时，，即：或；　　⑶当时，，若，则；若，则无解；若，则．综上：原不等式的解集分别为当时，；　　若时，；　　当时，　　当时，；　　当时，或．16．解：　　⑴甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，⑵的取值为0，10，30，60．，，的概率分布如下表：0103060⑶设甲恰好比乙多30分为事件，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件，则，，为互斥事件．．所以，甲恰好比乙多30分的概率为17．解：⑴因为，所以．所以，即，即．　　　因为，所以．故，．　　⑵由余弦

7、定理，得　　　又，　　　而，（当且仅当时等号成立）　　　所以　　　当的面积取最大值时，．　　　又，故此时为等边三角形．18．解：　　法一：　　如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，　　设，　　依题意得，，，　　⑴易得，，于是　　　所以异面直线与所成角的余弦值为⑵已知，，　　　于是，．　　　因此，，，又　　　所以平面　　⑵设平面的法向量，则，即　　　不妨令，可得．　　　由⑵可知，为平面的一个