2018年河北省定州中学高三（承智班）下学期开学考试数学试题（解析版）

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1、河北定州中学2017-2018学年第二学期高三数学开学考试一、单选题1.已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设点，∵，∴，∴，∴切线的方程为，令，得，故，又点，∴线段中点的纵坐标，设，则，故当时，单调递增；当时，单调递减．∴．选D．2.已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，过作的平行线交的延长线于，连．则即为异面直线与所成的角（或其补角）．设，则．在中，由余弦定理得，∴异面直线

2、与所成角的余弦值为．选A．点睛：求异面直线所成角的方法①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，往往通过解三角形求空间角．注意：异面直线所成角的范围为，因此若解三角形求得余弦值为正，则即为所求的异面直线所成角的余弦值；若为负，则要转化为正值．3.若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A

3、.0B.2C.4D.6【答案】A【解析】当时，，故函数在区间上递减，在上递增.故在处取得极小值.根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质，考查新定义问题的处理方法，考查函数图像关于原点对称点的处理策略.要分段函数两段图像有关于原点的对称点，一般可以将较简单的一段，关于原点对称的表达式求解出来，如本题中的，关于原点对称即为.4.已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】原式等价于，两边取自然对数得，令，则时，

4、因为当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得，，单调递增，时，单调递减，若，即，当时，单调递增，，矛盾；若，即，当时，递减，，成立，综上，，最小值为，故选A.5.已知中，，，成等比数列，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知可知，即，，即，，原式等于，设即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为，再利用余弦定理求角的取值范围，二是将转化为的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而

5、且运用转化与化归的思想，属于难题了.6.将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即，，得，当时，取最大值，故选A.7.已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数的最小值为，下列命题为真命题的是(　　)A.p∧qB.()∧qC.(p∨q)D.p∧(q)【答案】B【解析】p中椭圆为＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±

6、4，0)，故p为假命题；q中f(x)＝，设t＝≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)，则f(t)＝t＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝，故q为真命题．所以(p)∧q为真命题，故选B.8.已知不等式(ax＋3)ex－x＞0有且只有一个正整数解，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C.D.【答案】A【解析】当时，1、2都是不等式的解，不符合题意；当时，化为，设，则，所以函数f(x)在上是增函数，在上是减函数，所以当x＝1时，函数f(x)取得最大值，因为不等式有且只有一个正整数解，则解得.故选A.9.已知直线l过抛物线C：y2＝4x

7、的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，交于点P，则点P的轨迹方程为(　　)A.x＝－1B.x＝－2C.y2＝4(x＋1)D.y2＝4(x＋2)【答案】A..................联立，得，由，得，即，即点的轨迹为.故选A.10.已知函数，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】画出与的大致图象，如图，①先求时，与相切时的a值：设切点为，则,解得：，，把，得;②再求时，与有唯一公共点，且在此点有公切线时的a值：，解得：，而显然是增函数，故是唯一的解，此时，把，得

8、，函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向上平移a个单位（或向下平移-a个单位），由图象可知：时，仅在上与有两个公共点；③把代入得，可知时，与在区间和内各有一个交点综上，实数的取值范围是故选