应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

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1、第一章习题解答1．设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数，EX及DX。其中是已知参数。解=又（其中）令则同理令则）582、（1）求参数为的分布的特征函数，其概率密度函数为（2）其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。解（1）设X服从分布，则（2）（4）若则58同理可得：3、设X是一随机变量，是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1）（2）解（1）（）在区间[0，1]上服从均匀分布的特征函数为（2）==584、设相互独立，且有相同的几何分布，试求的分布。解====5、试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。证（1）

2、为连续函数58====非负定（2）==（）6、证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。解（1）58=（）且连续为特征函数（2）===7、设相互独立同服从正态分布，试求n维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的率密度函数。解又的特征函数为：均值向量为协方差矩阵为又588、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为及分布；（2）分别服从参数为。求X+Y的分布。解（1）====则（2）9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为求其特征函数。解　　　　　　　　　　　＝58　　　　　　　　＝　　　　　　　　　＝10、已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为　

3、　　　　解　　　　　　　　　又　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　其中　　　　　　　　11、设相互独立，且都服从，试求随机变量组成的随机向量的特征函数。　　　　解　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　＝＝12、设相互独立，都服正态分布，试求：（1）随机向量的特征函数。（2）设，求随机向量的特征函数。58（1）组成的随机向量的特征函数。解（１）　（２）　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　＝（３）　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　＝13、设服从三维正态分布，其中协方差矩阵为，且试求。解　　　＝　　　又　　　　

4、　同理可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　14、设相互独立同服从分布。试求的期望。解　　　　令　　　　58则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　＝　　　　　15、设X．Y相互独立同分布的随机变量，讨论的独立性。解有或则又58服从指数分布，　服从柯西分布，且对有相互独立。16、设X．Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论的独立性。解（1）(2)(3)对均成立相互独立17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求（1）（2）58证（1）=（2）18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（

5、1）X与X+Y的联合概率密度；（2）解令则（2）5819、设是一列随机变量，且，其中K是正常数。试证：（1）当。（2）当均方收敛于0；（3）当证令0(当，)几乎肯定收敛于0当均方收敛于0当时，即5820、设证=第二章习题解答1.设是独立的随机变量列，且有相同的两点分布，令，试求：（1）随机过程的一个样本函数；（2）之值；（3）；（4）均值函数；（5）协方差函数；解：（1）当时，，（2）　2　　　0　　　　-2　　　　　　　　　　　　　　58当n为奇数时　　　　　　　　当n为偶数时　　　０　　　　　　　　　　　　　　　　（４）　　　　而　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　若即有5

6、82.设，其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量，是常数，，试求：（1）X（t）的一个样本函数；（2）X（t）的一维概率密度函数；（3）均值函数和协方差函数。解：（1）当A=B=1时，（2）～（3）3.设随机过程。其中是相互独立的随机变量，且～。（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；（2）证明{X(t)}是正态过程。解：（1）58（2）其中，由n维正态分布的线性性质得～因此X(t)是正态过程。4.设是参数为的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）58（4）5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买

7、商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客流，证明是强度为的Poisson流。证：令表示“第个顾客购买商品”，则且。其中为时间段内到达商店的顾客人数，则的特征函数为是强度为的Poisson流。6.在题5中，进一步设是不购买商品的顾客流，试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。证：（1）58与独立且强度为的Poisson流。7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明：（1）是强度为的Poisson流；（