运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法

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1、幻灯片1©管理与人文学院忻展红 1999，4第三章运输问题—数学模型及其解法顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。荀子《劝学》幻灯片23.1运输问题的一般数学模型l有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资l令a1,a2,…,am表示各产地产量，b1,b2,…,bn表示各销地的销量，åai=åbj称为产销平衡l设xij表示产地i运往销地j的物资量，wij表示对应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：运输问题有m´n个决策

2、变量，m+n个约束条件。由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问题的基变量只有m+n–1个幻灯片33.2运输问题的求解方法l约束条件非常有规律，技术系数非0即1l基变量的个数远小于决策变量的个数l采用表上作业法，称为位势法和踏石法l运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表) 幻灯片43.2.1寻找初始可行解的方法l1、西北角法l从x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配xij的分配公式 例3.2.1幻灯片5例3.2.1西北角法 幻灯片62、最低费用法l采用最小费用优先分配的原则，看一步 f

3、(x)=121，比西北角法低84幻灯片73、运费差额法l采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大)优先分配的原则，看两步 f(x)=98，比最低费用法又低了23幻灯片83.2.2利用位势法检验分配方案是否最优l不采用单纯型法，如何获得xij的检验数l找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原问题的解不是最优解；否则，达到最优解 幻灯片9 幻灯片10位势法的原理l为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij³0，则要求对偶

4、问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0l共有m+n-1个基变量xij，因此可得m+n-1个等式ui+vj=wijlm+n-1个等式只能解出m+n-1个ui和vj，而一共有m+n个ui和vj，但可令任一个ui或vj=0，从而解出其它m+n-1个的值；这就是位势法l令zij=ui+vj，其相当原问题xij的机会费用l若对所有非基变量有zij-wij£0，即ui+vj£wij，表明当前ui和vj是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前m+n-1个基变量xij是最优解，否则l从zij-wij>0中找最大者，

5、对应xij就是入变量幻灯片113.2.3踏石法l1、找入变量l从zij-wij>0中找最大者，对应xij就是入变量l2、以xij为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路l该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括xij)，且回路中每行每列只有两个变量l3、求入变量xij的最大值及新基变量的解l从xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“-”和“+”，表示“-”和“+”xij，从而迭代后仍满足分配的平衡l标有“-”的变量中最小者就是出变量xij*，对应x

6、ij*的值就是所求入变量xij的最大值l标有“-”的变量减去xij*，标有“+”的变量加上xij*l4、用位势法求新基变量的检验数若所有zij-wij£0，则达到最优，算法停止；否则返回1幻灯片12例3.2.1踏石法，以最低费用法所得初始解开始 OBJ=121OBJ=101答：最优解如上分配表，OBJ=98幻灯片133.3运输问题迭代中的一些具体问题l3.3.1闭合回路的画法l从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法l闭合回路不一定是

7、矩形l3.3.2产销不平衡l供过于求，即åai>åbj，增加一个虚收点Dn+1，bn+1=åai-åbj,令wi,n+1=0,i=1,2,…,ml供小于求，即åai<åbj，增加一个虚发点Wm+1，am+1=åbj-åai,令wm+1,j=0,j=1,2,…,nl3.3.3关于退化问题l1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于m+n-1。必须补足基变量的个数，否则不能正常解出m+n个ui和vj所补基变量的值为0，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列幻灯片143.

8、3.3关于退化问题l2、迭代过程中出现退化l闭合回路中标有“-”的基变量同时有多个达到最小l变换后，有多个原基变量变为0，选运费最大者为出变量，其余保留在新的基础解中退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为0的基变量在转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量踏石法迭代中需注意的问题：1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中2、不能正确画闭合回路3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中