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《高中数学竞赛平面几何定理证明大全》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。 設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P,D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD,CD正好是∠CBP,∠BCP的角平分线。莫利三角形的另两个頂点E,F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP,BP上找到E,F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了为此，先把DP连起來，在CP,BP上分別取两点E
2、,F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE,AF的确会三等分∠BAC。如图2所示，在A
3、B,AC上各取一点G,H,使得BG＝BD,CH＝CD，把G、F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF＝FD＝FE＝ED＝EH。下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF,FE,EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FG
4、E也就能求出来了。△PFE也是一个等腰三角形，这是因为△PDF≌△PDE，（PD是公用边，∠DPF＝∠DPE，∠PDF＝∠PDE＝30°），所以PF=PE。等腰三角形△PFE的顶角大小为：∠FPE=π-2/3（∠ABC+∠ACB）=π-2/3（π-∠BAC）=π/3+2/3∠BAC……………………………（1）∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠BAC……………………（2）∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC
5、/3=π-2/3∠BAC…………………………（3）最后得到：∠FGE=∠FEG=1/2(π-∠GFE)=1/3∠BAC…（4）同理可证：∠FHE=∠HFE=1/3∠BAC……………（5）至此可知G,H,E,F，A五点共圓。因GF=FE=EH，所以∠GAF=∠FAE=∠EAH=1/3∠BAC…（6）即AE和AF恰好是∠BAC的三等分线，所以△DEF是莫利三角形。蝴蝶定理：AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分别交圆于C、D、E、F，连接CF,ED分别交AB于点M、N，求证：MS
6、=NS。证明（一）过O作OL⊥AD，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST容易证明△ESD∽△CSF所以ES/CS＝ED/FC根据垂径定理得：LD＝ED/2，FT＝FC/2所以ES/CS＝EL/CT又因为∠E＝∠C所以△ESL∽△CST所以∠SLN＝∠STM因为S是AB的中点所以OS⊥AB所以∠OSN＝∠OSN＝90°所以∠OSN+∠OSN＝180°所以O，S，N，L四点共圆同理O，T，M，S四点共圆所以∠STM＝∠SOM，∠SLN＝∠SON所以∠SON＝∠SOM，因为OS⊥AB所以MS
7、＝NS证明（二）从向和作垂线，设垂足分别为和。类似地，从向和作垂线，设垂足分别为和。现在，由于从这些等式，可以很容易看出：由于PM=MQ现在，因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上证明 设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、Q
8、W分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F 这时，P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系： 将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点，从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点，从P点出发的光线照到F点后通过Q点 从而，如果P、Q两点重合，则D、E、F三点成为从P（即Q）点向BC，CA，AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是，如果P、Q两点
