计算机图形学（徐长青、许志闻）参考

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1、☆求变换:沿与水平方向成角的方向扩大倍，沿与水平方向成角的方向扩大倍变换矩阵如下：☆对平面上任意一条方程为的直线成轴对称变换矩阵如下：当时，或者当时，有一个平面，其方程为Ax+By+Cz+D=0，要通过平移和旋转组合的变换，使其重合于z=0坐标平面，求变换矩阵。解答：设给定平面与x轴的交点为P1，与y轴的交点为P2，与z轴的交点为P3。zxyP4OP1P3P2如上图所示，根据平面方程，可知与三个坐标轴的交点坐标，分别为从P2点作线段P1P3的垂线，与P1P3的交点为P4。设为，为将指定平面变换到与z=0

2、坐标平面重合，可以通过以下步骤完成：首先，做平移，使P3点与原点O重合，如上图所示。然后，做旋转，使P3P1重合于x坐标轴，如下图所示。yP4OP1P3P2zx最后，做旋转，使P2点也落入z=0坐标平面中，此时P1，P2，P3三点都在z=0坐标平面中，原始平面重合于z=0坐标平面。即变换矩阵为：P3OP4P1P2zxy，，所以有变换矩阵为：根据第一幅图所示，可以计算出三角函数值：∵P1P3的长度为，OP3的长度为，OP1的长度为∴，∵∴OP4的长度为，同时OP2的长度为∴P2P4的长度为∴，所以最终变换

3、矩阵为：需要说明的是，这里假定了A、B、C三个值都不为0，即最一般的情况。☆设己知四点V0，V1，V2，V3分别为(0，0)，(3，9)，(6，3)，(9，6)，求另外两个顶点P0，P3，使P0，V1，V2，P3四点所确定的4阶3次均匀B样条曲线，以V0，V3为起点和终点。解答：设，，则P0，V1，V2，P3四点所确定的4阶3次均匀B样条曲线，有所以☆设有一段Hermite形式的三次曲线，且是由两个控制点，及两点处的导数值，确定的。（1）求四个控制点，，，，使这四点确定的三次Bezier曲线，与原Her

4、mite形式的三次曲线相同。（2）求四个控制点，，，，使这四点确定的4阶3次等距B样条曲线仍与原来那条曲线相同。解答：（1）根据习题的第8题可知，给出四点P0，P1，P2，P3，使P0’=3(P1-P0)，P3’=3(P3-P2)，这时用P0，P3，P0’，P3’可以确定一条Hermite形式的三次曲线，所确定的曲线与用原来四点确定的Bezier形式的三次曲线相同，以上结论可通过如下证明得到：根据Hermite三次曲线定义，可知P0，P3，P0’，P3’确定的Hermite三次曲线参数方程式为：将使P0

5、’=3(P1-P0)，P3’=3(P3-P2)带入上面的方程式，得到Hermite三次曲线参数方程式为：根据三次Bezier曲线定义，可知P0，P1，P2，P3确定的三次Bezier曲线方程为：两个曲线方程相同，所以用P0，P3，P0’，P3’确定的Hermite形式的三次曲线与用P0，P1，P2，P3确定的Bezier形式的三次曲线相同。本题已知Hermite曲线由两个控制点，及两点处的导数值，确定，根据以上结论，可知：=；=；=3（-）；=3（-）可计算得出用于确定三次Bezier曲线的四个控制点分

6、别为：====由上面四个控制点确定的三次Bezier曲线与给定的Hermite形式的三次曲线相同。（1）4阶3次等距B样条曲线与给定的Hermite形式的三次曲线相同，则该B样条曲线必然具有如下特点：曲线的起点和终点分别是和，曲线在起点和终点处的导数值分别为和，即有如下式子成立（为4阶3次等距B样条曲线）：解上面的方程组，可得：以上四点确定的4阶3次等距B样条曲线与给定的Hermite形式的三次曲线相同。