华科微积分辅导书习题答案

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1、微积分学同步辅导A类题解答第35页习题4解答（编写：金建华）1、填空题：（1）=。解（用到，据台劳公式）；（2）函数在是单调减少。解，填[0，2]或（0，2）；（3）曲线的拐点坐标是。解，，显然在两侧变号，故所求点（4）曲线在区间是凹的（即向上凹）。解，，为所求（5）函数的极大值是。解在两侧变号，左正右负，为极大值点，极大值为。（6）函数的n阶麦克劳林多项式是。解在的Taylor多项式由的展式来写：（7）曲线的斜渐近方程为。解，故所求为。（8）抛物线在其顶点处的曲率为。微积分学同步辅导A类题解答第35页解，顶点处，，，。（9）=。解.（注，用更好：此时，分子=

2、.）（10）若（n为正整数），则当n为奇数时，在=处，当n为偶数时，在处。解条件分式最终为正（极限的保号性）。于是偶时，极小；奇时，与同号.非极值.（11）曲线的拐点为，且该曲线在区间上凹，在区间下凹。解，，令，得。当时，，曲线为凸的；当时，，曲线为凹的；拐点为（12）若在上二阶可导，且，又知在（0，）内取得极大值，则必有。解设在点极大，则，于是，，于是微积分学同步辅导A类题解答第35页2．选择题（1）函数和，在区间上满足柯西定理的等于（）（A）（B）1（C）（D）解（A）（2）罗尔定理中的三个条件：在上连续，在内可导，且是在内至少存在一点，使得成立的（）。（

3、A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件。解充分条件（B）（3）下列函数中在上满足拉格朗定理条件的是（）（A）（B）(C)(D)。解在满足（B）(4)设为未定型，则存在是也存在的（）（A）必要条件（B）充要条件（C）充分条件（D）既非充分也非必要条解充分（C）（5）若在区间函数的，则在内是（）（A）单调减少，曲线上凹（B）单调减少，曲线下凹（C）单调增加，曲线上凹（D）单调增加，曲线下凹解对应单增，对应上凸，于是（D）形为右图。（6）设在（0，+）内可导，且，若，则在（）内有（）（A）（B）（C）单调趋向于+（D）的符号不能确定解注意

4、在处，函数可能不连续，选（D）.反例形为右图。（7）设=1，则在处（）（A）的导数存在，且（B）的导数不存在（C）取得极小值（D）取得极大值微积分学同步辅导A类题解答第35页解极小值，同1（10），选（C）（8）函数有（）（A）一个极大值和一个极小值（B）两个极大值（C）两个极小值（D）一个极小值，无极大值解，一个极小值（D）图形如右（9）设在（-）上严格单调减少，在处有极值，则（）（A）在处有极小值（B）在处有极大值（C）在处有最小值（D）在处既无极大值，也无最小值解，故为极小值.（A）（10）曲线（）（A）有一个拐点（B）有两个拐点（C）有三个拐点（D）无

5、拐点解，，它在两侧变号，但为无定义点，故无拐点（D）（11）设在闭区间上连续，在开区间（-1，1）上可导，且，则必有（）（A）（B）（C）（D）解选（C）（12）若，则、、的大小关系为（）（A）微积分学同步辅导A类题解答第35页（B）（C）（D）解，故选（C）（13）设有二阶连续导数，且=1，则（）（A）（B）（C）（D）解与同号，故推出.结合，选（B）（14）曲线的渐近线有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条解时，，故得一条垂直渐近线；时，非垂直渐近线，类似也不是，再时，，得水平渐近线。选（B）（15）设函数（）（A）（B）（C）或不存在（D）不存在

6、解选（C）这是两种情形：微积分学同步辅导A类题解答第35页3．求下列极限：（1）（2）（3）（4）解：使用洛必达法则要结合等式变形或等价变形等化简手段。（1）令，（分子化简用到：，下题也是）（2）（3）令，化简到分式后使用洛必达法则=（4）令，化简后使用洛必达法则=4．已知在处有三阶导数，且，求极限.解一：由在处Taylor公式，得：，于是；解二：由洛必达法则也可以。注意型条件的检验。（注：最后一步极限只可使用导数定义，决不可以用洛必达！因为三阶导函数可以不存在）5．证明下列不等式微积分学同步辅导A类题解答第35页（1）当时，解：设，原不等式在(0,1)内单调

7、减，且在(0,1)内单调减，又由，故在(0,1)内（2）当时，解：作函数=，因为的唯一驻点，且当时，当时时，故是的极大值，也是最大值，则，因即得.（3）当时，解：令，因当时，，故，从而.（4）比较和的大小解：因，故问题在于比较与之大小，令则令，即得.6．求下列函数的极值：（1）解：=0微积分学同步辅导A类题解答第35页在处取得极小值，且，在处取得极大值，且（2）解：=.，在处取得极小值，且极小值为，在处取得极大值，且极大值为（3）解：在处连续，从而在内处处连续.在处，不可导，令0＋不存在极大值－0极小值＋由上面的表可知，的极大值为，极小值为.7．已知有两个极值

8、点，求的极大值与极小值.解：由从中解得