天津大学最优化方法复习题

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1、《最优化方法》复习题第一章概述(包括凸规划)一、判断与填空题1√23设若，对于一切恒有，则称为最优化问题的全局最优解.4设若，存在的某邻域，使得对一切恒有，则称为最优化问题的严格局部最优解.5给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.√6非空集合为凸集当且仅当中任意两点连线段上任一点属于.√7非空集合为凸集当且仅当中任意有限个点的凸组合仍属于.√8任意两个凸集的并集为凸集.9函数为凸集上的凸函数当且仅当为上的凹函数.√10设为凸集上的可微凸函数，.则对，有11若是凹函数，则是凸集。√12设为由求解的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，则对，恒有.1算

2、法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。2凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。√3函数在点沿着迭代方向进行精确一维线搜索的步长，则其搜索公式为.4函数在点沿着迭代方向进行精确一维线搜索的步长，则0.5设为点处关于区域的一个下降方向，则对于，使得二、简述题1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。2怎样判断一个函数是否为凸函数.（例如:判断函数是否为凸函数）三、证明题1证明一个优化问题是否为凸规划.（例如判断（其中G是正定矩阵）是凸规划.2熟练掌握凸规划的性质及其证明.第二章线性规划

3、考虑线性规划问题：其中，为给定的数据，且rank一、判断与选择题1(LP)的基解个数是有限的.√2若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解.√3(LP)的解集是凸的.√4对于标准型的(LP)，设由单纯形算法产生，则对，有×5若为(LP)的最优解，为(DP)的可行解，则√6设是线性规划(LP)对应的基的基可行解，与基变量对应的规范式中，若存在，则线性规划(LP)没有最优解。×7求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.8对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降.×一、简述题1将以下线性规划问题化为标准型：2

4、写出以下线性规划的对偶线性规划：二、计算题熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）.见书本：例2.5.1(利用单纯形表求解);例2.6.1(利用大M法求解);例2.6.2(利用二阶段法求解).三、证明题熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。第二章无约束最优化方法一、判断与选择题1设为正定矩阵，则关于共轭的任意向量必线性相关.√2在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向.×3经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.×4PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newt

5、on算法.×5用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关.√6FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性.×7共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.√8函数在处的最速下降方向为.9求解的经典Newton法在处的迭代方向为.10若在的邻域内具有一阶连续的偏导数且，则为的局部极小点.×11若在的某邻域内具有二阶连续的偏导数且为的严格局部极小点，则正定.×12求解的最速下降法在处的迭代方向为.13求解的阻尼Newton法在处的迭代方向为.14用牛顿法求解时，至多迭代

6、一次可达其极小点.×15牛顿法具有二阶收敛性.√16二次函数的共轭方向法具有二次终止性.×17共轭梯度法的迭代方向为：_____________________.二、证明题1设为一阶连续可微的凸函数，且，则为的全局极小点.2给定和正定矩阵.如果为求解的迭代点，为其迭代方向，且为由精确一维搜索所的步长，则1试证：Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点.二、简述题1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.2简述共轭梯度法的基本思想.三、计算题1利用最优性条件求解无约束最优化问题.例如：求解2用FR共轭梯度法无约束最优化问题.见书本：例3.4.1.3用PR

7、P共轭梯度法无约束最优化问题.见书本：例3.4.1.例如：第二章约束最优化方法考虑约束最优化问题：其中，一、判断与选择题1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT.×2使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解.×3在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为.4在（NLP）中，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数为.5在（NLP）中，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为，对.6在（NLP）中，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：__________________

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