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1、报告人：张莲民20021090035段海婷20021090002江云20021090004指导老师：窦霁虹投篮问题问题的提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定出手角度和篮框的入射角度；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到的出手角度和篮框的入射角度是否符合这个条件；3）为了使
2、球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)。讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；模型假设1、假设求出手后不考虑自身的旋转2、不考虑篮球碰篮板或篮框入框3、不考虑空气阻力对篮球的影响时符号设定d篮球直径D篮框直径L罚球点和篮框中心的水平距离H篮框中心的高度h篮球运动员的出手高度v篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm.问题的分析与模型的建立1、问题1）的分析与模型的建立：不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P，列
3、出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。罚球点投篮示意图voPHhL由于不考虑篮球和篮筐的大小,不考虑空气阻力的影响,从未出手时的球心p为坐标愿点,x轴为水平方向,y轴为竖直方向,篮球在t=0时以出手速度v和出手角度投出,可视为质点(球心)的斜抛运动,其运动方程是我们熟知的(1)其中g是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为如下抛物线(2)以x=L,y=H-h代入（2）式,就得到球心命中框心的条件（3）
4、可以看出,给定出手速度v和出手高度h,有两个出手角度a满足这个条件而（3）式有解的前提为(4)可对v求解得(5)于是对于一定的高度h,使(5)式等号成立的为最小出手速度,它是h的减函数.由(3)式计算出的两个出手角度记作、,且设>,可以看出,是h和v的增函数.球入篮筐时的入射角度可从下式得到(6)这里的导数由(2)式计算代入后可得(7)于是对应于、,有、.设>.2、问题2)的分析与模型的建立：考虑篮球和篮框的大小时，如图，篮球的直径d,篮框的直径D。显然，即使球心命中球框，若入射角太小，球会碰o到框的近侧A，不能入框。由ADB图不难得出应满足的球心应命中框心且球入框的条件。(8)将d=
5、24.6cm,D=45.0cm代入得>33.1度。前面计算结果中不满足这个条件的，当然应该去掉。3、问题3）的分析与模型的建立：球入框时，球心可以偏离框心，偏前（图Q1）的最大距离为图中的,可以从入射角算出.根据和球心轨迹中xAB与的关系,能够得到D出手角度允许的最大偏差.出手速度v允许的最大偏差可以类似的处理.由图看出,球入筐时球心可以偏前(偏后与偏前一样)的最大距离为（9）为了得到出手角度允许的最大偏差,可以在(3)式中以代替重新计算,但是由于中包含,从而也包含所以这种方法不能解析的求出.如果从(2)式出发并将y=H-h代入,可得（10）对求导并令x=L,就有（11）用近似代替左边
6、的导数,即可得到出手角度的偏差与的如下关系（12）由和已经得到的也容易计算相对偏差.类似的,(10)式对v求导并令x=L,可得到出手速度允许的最大偏差(13)由(12),(13)式v的相对偏差为(14)模型的求解及结果分析问题1)、2）的结果与分析：1.对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(5)式等号成立的v为最小出手速度,在这个速度下由(3)式可得相应的出手角度为(15)取出手高度h=1.8~2.1(m),计算结果见下表对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度H(m)Vmin(m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518
7、651.42902.17.439250.8344由此得出，对应与最小出手速度是最小出手角度,他们均随着出手高度的增加而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度1.8~2.1(m),由(3)式计算出手角度、，由（7）式计算入射角度、，结果见下表2.对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度（vm/s）(hm)8.01.81.92.02.162.40
