2014江苏省高考数学（理）《矩阵与变换》二轮复习测试

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1、常考问题20　矩阵与变换1．求使等式＝M成立的矩阵M.解　设M＝，则＝M＝，则⇒即M＝.2．(2011·江苏卷)已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解　A2＝＝，设α＝，由A2α＝β得，＝，从而，解得所以α＝.3．(2013·南京，盐城模拟)已知矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量．解　(1)设M－1＝.则＝＝，∴解得∴M－1＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝

2、0，令x＝1，则y＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝.4．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.设向量β＝，试计算A5β的值．3解　由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝.矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋

3、A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝5．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解　由题设得，MN＝＝，由＝，可知A1(0,0)、B1(0，－2)、C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是

4、k

5、，则由题设知：

6、k

7、＝2×1＝2.所以k的值为2或－2.6．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2

8、倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；(2)求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下的新曲线的方程．解　由题意M＝，(1)由

9、M－λE

10、＝0得，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2，∴y＝0，取x＝1；当λ2＝3，∴x＝0，取y＝1.所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量，特征值3对应的特征向量.3(2)由逆矩阵公式得：M－1＝，设P(x0，y0)是椭圆＋＝1上任意一点P在M－1下对应P′(x，y)，则＝，∴所以，椭圆＋＝1在M－1的作用下的新曲线的方程为x2＋y2＝1.3