四、拉盖尔多项式

《四、拉盖尔多项式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、拉盖尔多项式常微分方程（0＜x＜∞＝＝）（1）叫作拉盖尔方程．是拉盖尔方程的正则奇点．在及其邻域上为有限的级数解是+.（2）级数的收敛半径为无限大．如λ为整数，解y（x）退化为λ次多项式.用适当的常数乘这些多项式，使最高次幂项成为就叫作拉盖尔多项式，记作.于λ=0，有λ=1，λ=2，λ=3，λ=4，λ=5，函数在的邻域上是解析的，可在的邻域上展为泰勒级数（3）现在来证明（3）式里的正是拉盖尔多项式.既然（3）式里的是Ψ（t，x）的泰勒展开的系数，那就有.上式利用了§2.4习题2.我们只需证明（4）式正是拉盖尔多项式就行了．令，容易验证，z满足.上式对x求导

2、n+1次，这就是说，满足.参照（4）式，作函数变换，得L（x）所满足的方程，这正是拉盖尔方程（1）.拉盖尔方程的多项式解只能是拉盖尔多项式，最多相差某个常数因子.经具体验算，得知并不差常因子．（3）和（4）里的的确是拉盖尔多项式.函数因而称为拉盖尔多项式的母函数.而（4）式是拉盖尔多项式的微分表示式．拉盖尔方程（1）可改写为施图姆-刘维尔型（0＜x＜∞＝＝）（5）作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交性关系的特例，拉盖尔多项式在区间0＜x＜∞上带权重正交，（m≠n）（6）拉盖尔多项式的模可借助微分表示式（4）并累次分部积分而算得，=（7）根据施图姆-刘维尔本征

3、值问题的性质④（见§9.4），在区间0＜x＜∞上，以接盖尔多项式为基本函数族，可把函数f（x）展开为，（8）