怎样把一个钝角三角形分成若干个锐角三角形

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1、怎样把一个钝角三角形分成若干个锐角三角形这是我最喜欢的几何谜题之一：你能否在纸上画一个钝角三角形，然后把它分割成若干个锐角三角形？令人难以置信的是，这竟然是可以办到的！继续看下去之前，大家不妨先自己想一会儿。          每次我在课堂上提出这个问题的时候，学生们总会疯狂而盲目地进行尝试。根据我的观察，绝大多数人都会先画一个不那么钝的钝角三角形（其实这本质上并不会简化我们的问题），然后作出一系列类似于图1的尝试，但最后都以失败告终。此时我往往会反复强调：要有方法啊，要有方法！首先，想必很多人已经注意到了，我们必须在钝角里引出

2、一条线（如图2所示），这样才能把钝角给消除掉。接下来，则是很少有人意识到的一点：我们不能让这条线一直延伸到对边，否则原三角形将会被分成一个锐角三角形和一个钝角三角形（或者两个直角三角形），这并不能解决根本问题。也就是说，这条线在到达对边前就必须得分岔。最后一个关键的问题就是，分成几岔？显然，分成三岔（如图3所示）是不够的，因为这样只能把一个周角分成四份，它们不可能都是锐角。为了让所有的角都是锐角，我们至少要让这条线分成四岔（如图4所示）。最后，再把一些没有连起来的点连起来，我们就得到一个像模像样的答案了（如图5所示）。    有

3、的读者或许会说，等等，等等，你怎么敢肯定，图5中的每个小三角形都是锐角三角形呢？其实，我也不敢肯定。不过，我并没有说图5就是最终的答案。为了证明确实有一个钝角三角形能被分成若干个锐角三角形，我们需要给出一个确凿的、能供他人进行验证的例子。图5并不是一个确凿的例子，但它给我们提供了构造这种例子的思路，或者更贴切地说，构造这种例子的模板。借助这个模板，我们很容易得到下面这种构造方案。6          如图，首先，画一个正五边形ADEFG。然后，找出它的中心O，将它分别与A、D、E、F、G相连。最后，延长AD和FE并交于点B，延长

4、AG和EF并交于点C。那么，整个大三角形ABC将会成为一个顶角为108°的等腰三角形。这就是一个绝对让人信服的例子，我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数，从而说明每个小三角形的确都是锐角三角形。     那么，能否把任意一个钝角三角形都分割成若干个锐角三角形呢？这下子，问题就变得复杂得多了。为了给出一个肯定的答案，我们必须想出一种能够适用于所有钝角三角形的通用分割方案，并且证明由此产生的小三角形确实都是锐角三角形。这个有名的问题最早出现在1960年3月的TheAmericanMathematicalMonthly

5、上，同年11月，美国的一位中学数学老师WallaceManheimer给出了下面这个解答。          如图，假设△ABC中，∠BAC是钝角。作出△ABC的内心I以及内切圆，将BI、CI与圆的交点分别记作M、N。过点M作圆的切线，分别与AB、BC交于D、E；过点N作圆的切线，分别与AC、BC交于G、F。最后，把D、E、F、G都和内心I相连，我们就把整个大三角形分成了7个小三角形。6    现在，我们来证明，这些小三角形都是锐角三角形。由于圆的半径垂直于切线，因此BI⊥DE；同时，BI又是∠B的角平分线，因此△BDE就是一个

6、等腰三角形。等腰三角形的两个底角一定都是锐角，而这个等腰三角形的顶角∠B也是一个锐角，因此它就是一个锐角三角形。类似地，△CGF也是一个锐角三角形。另外，五边形ADEFG的每个角都是钝角，而容易看出AI、DI、EI、FI、GI正好都是这些钝角的角平分线，它们把每个钝角都分成了两个大于45度的锐角。然而，如果一个三角形有两个大于45度的锐角，这个三角形就一定是锐角三角形。因此，五边形ADEFG里的五个小三角形也都是锐角三角形了。这样，我们便得到了一种把任意钝角三角形分成7个小锐角三角形的方法。     1961年，美国数学家Ver

7、nerHoggattJr.在TheAmericanMathematicalMonthly上发表了一篇论文，给出了一个更出人意料的结论：不但任意一个钝角三角形都能被分割成若干个锐角三角形，而且任意一个钝角三角形都能被分割成若干个等腰锐角三角形（即使这个钝角三角形本身不是等腰的）！让我们来看一看他是怎么做到的。          如图，仍然假设△ABC中，∠BAC是钝角。还是作出△ABC的内心I，还是以I为圆心，不过这一次，让我们以IA为半径作圆。这个圆一定会和△ABC交于另外四个点，不妨依次记作D、E、F、G（注意，这四个交点为什

8、么一定存在，这是需要严格说明的，不过这里我们暂且略去）。显然，IA=ID=IE=IF=IG，因而圆里的五个小三角形都是等腰三角形。过I作三角形三边的垂线段IH1、IH2、IH3，由于内心I到三角形三边的距离都相等，因此IH1=IH2=IH3。那么，△IAD、△I