华东理工大学概率论答案-19,20

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1、华东理工大学概率论与数理统计学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第十九次作业一．填空题：1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下:1.23，1.24，1.26，1.29，1.20，1.32，1.23，1.23，1.29，1.28用矩估计法得到这批垫圈的数学期望的估计值=，标准差的估计值=。2．将合适的数字填入空格，其中：（1）总体矩，（2）样本矩，（3）中心极限定理，（4）大数

2、定理。矩估计的做法是用（2），代替（1），其依据是（4）。3．已知总体，其中未知参数的极大似然估计分别为，则概率的极大似然估计为。二．计算题：1．设总体的分布律为，其中未知，为来自该总体的样本，试分别求的矩估计和极大似然估计解：（1）矩估计总体均值：，样本平均值：，令，即，得，即的矩估计为。（2）极大似然设的一组观测值为，似然函数，显然越小，似然函数值越大。由,得，则的极大似然估计值为，即的极大似然估计为2．设总体服从几何分布：，，其中未知。设为的样本，试求的矩法估计和极大似然估计。解：(1)由于，因此，由矩法原则可知，故。(2)设样

3、本的一组观测值为,由于总体为离散型,因此似然函数,取对数,得,上式两端关于求导,令,解上式,得。3．设总体总体的密度函数为，其中是未知参数,是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求的估计量。解：总体的数学期望为,设为样本均值,则应有：,解得的矩法估计量为:；设是样本的观察值,则似然函数为：,当时,令,解得的极大似然估计值：，故的极大似然估计量为：。4．设总体的分布律为0123其中是未知参数。现有一样本：3,1,3,0,3,1,2,3。求的矩估计值和极大似然估计值。解：(1)由矩法原则可知：，由样本得：，故的矩估计值。(2)注意该

4、总体为离散型，且分布律不能由解析式表示。似然函数，取对数，得，令，解得，由于不合题意，故舍去。因此，的极大似然估计值为。第二十次作业一．选择题：1．设总体的数学期望为，是取自总体的样本，则下列命题中正确的是(A)A.是的无偏估计量；B.是的极大似然估计量；C.是的一致(相合)估计量；D.不是估计量。2．设为总体(已知)的一个样本,为样本均值,则总体方差的下列估计量中,为无偏估计量的是(C).A.;B.;C.;D.;二．计算证明题：1．设总体，是的样本，（1）证明：都是的无偏估计。（2），，这三个估计中，哪一个估计最有效？证明：(1)所

5、以,都是的无偏估计.(2)由于样本独立同分布,那么可知,故最有效.2．设从均值为，方差为的总体中，分别抽取容量为和的两个独立样本，和分布是这两个样本的均值。试证：对于任意常数，是的无偏估计，并确定常数，使得达到最小。证明：因为,故对于任意常数,都是的无偏估计.由于两个样本独立,因此相互独立,那么由定理6.2.1,可知,将代入,得,求其最小值,,,即当时,最小。3．设随机变量服从区间上的均匀分布,其中为未知参数,是来自于的一个样本,是样本均值,.证明:和都是无偏估计量().证明：因为服从区间上的均匀分布,所以，，所以是无偏估计量.再证是

6、无偏估计量,先求的概率分布,的分布函数，的密度函数，与独立且同分布,故的分布函数为：，，于是,，，所以也是无偏估计量。4.设总体服从参数为的指数分布，是总体的一个样本，证明：（1）和都是的无偏估计；（2）问，中哪个更有效？证明:（1）由服从参数为的指数分布，得到，于是有.为了计算。先给出的分布函数为：于是有的分布函数概率密度函数为故.（2）同样由于服从参数为的指数分布，得到，于是有；为了计算，先计算。得到故当时，比更有效；当时，和一样有效；当时，比更有效。