有趣的有趣的“五猴分桃”问题

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1、有趣的“五猴分桃”问题2009-06-0214:45　　据说以下的“五猴分桃”问题最先是由大物理学家狄拉克提出来的，这一貌似简单的问题曾困扰住了他，经过努力，他只是获得了相当繁琐的求解方法。为了获得简便的方法，他把问题提供给当时的一些数学家，有意思的是竟然也没有得到满意的结果。在后来者的不断努力下，比较简捷的方法才逐步涌现。李政道和杨振宁曾荣获诺贝尔物理学奖，正是由李政道提议成立了中科大少年班，他在中科大少年班的开班仪式上对“五猴分桃”问题进行适当演绎，提供给了少年班同学。　　“五猴分桃”问题   话说花果山水帘洞有5只聪明的猴子，有一天它们得到了一堆桃子，他们发现那

2、堆桃子不能被均匀分5份，于是猴子们决定先去睡觉，明天再讨论如何分配。夜深人静的时候，猴子A偷偷起来，吃掉了一个桃子后，它发现余下的桃子正好可以平均分成5份，于是它拿走了一份；接着猴子B也起来先偷吃了一个，结果它也发现余下的桃子恰好可以被平均分成5份，于是它也拿走了一份；后面的猴子C、D、E一次如法炮制，先偷吃一个，然后将余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份，问：这一堆桃子至少有几个？　　以下我们尝试给出该问题的解，我们将发现，用我们所学的数列的递推关系公式可以很好地解决该问题。已经解答过类似的题目比如这一题1。有五个小朋友甲、乙、丙、丁、戊按如下方法分一堆弹珠：甲

3、先拿去一颗弹珠，和剩下弹珠数的1/5，接着乙也拿去一颗弹珠，和剩下弹珠数的1/5，后来是丙拿去一颗弹珠，和剩下弹珠数的1/5，又后来是丁拿去一颗弹珠，和剩下弹珠数的1/5，最后是戊拿去一颗弹珠，和剩下弹珠数的1/5。问：最初至少要有多少颗弹珠？有一个很简单的方法:先借他们4个弹珠，那么甲将弹珠恰分作五份拿走一堆（其实这一堆也就是先前他拿的一堆加一个），剩下那四堆各取出一个给乙来分弹珠，将四个弹珠又放进去，因为原本多一个弹珠，就可以平分成……答案就是5*5*5*5*5-4=3121其实这个是最小值实际上5*5*5*5*5*X-4得到的每个数值都可以X取自然数二.显然，如

4、果不考虑正负，-4为一解。考虑到要5个人分，假设分n次。则题目的解:5^n-4本题为5^5-4=31213121个，最后还剩1020个验证：3121－1＝3120；3120×4/5＝24962496－1＝2495；2495×4/5＝19961996－1＝1995；1995×4/5＝15961596－1＝1595；1595×4/5＝12761276－1＝1275；1275×4/5＝1020楼上的方法很巧妙，不过，得出答案5*5*5*5*5-4=3121，有点太突然了，最好把中间步骤补上：设原来珠子总数为N，借来4个后，为N+4个。经过第一步后，剩下4(N+4)/5经过第

5、二步后，剩下4^2(N+4)/5^2经过第三步后，剩下4^3(N+4)/5^3经过第四步后，剩下4^4(N+4)/5^4经过第五步后，剩下4^5(N+4)/5^5显然，4^5(N+4)/5^5为整数，因为4^5和5^5互质，则：(N+4)肯定能被5^5整除。所以，N=5^5×K-4，(K=1，2，3，......)当K=1时，N为最小值，结果为5^5-4=3121实际上只需要往桃堆添四个桃，就会发现，实际上每次猴子都是拿走桃堆的五分之一（包括它吃掉的），然后就是一个公比为5/4的等比数列。桃子必然是整数，分5次每次都要能整除4，所以最后的桃子数必须要能整除1024，当

6、然这是添了4个桃子的结果。拿走以后剩的桃子最少是1020个，这种情况下，一开始的桃子是3121个。