国家集训队2007论文集2.王晓珂《解析一类组

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1、组合游戏的简单分析—四川省绵阳南山中学王晓珂【关键字】组合游戏游戏的和nim和Sprague-Grundy函数【摘要】本文的主要内容是分析组合游戏的方法。在介绍这些方法之前，会先介绍相关的概念对于每一种方法,本文附有相应的例题帮助理解。【组合游戏与相关的概念】1．组合游戏游戏是一个常见的概念，通常它是指娱乐性质的游戏。不过它也可以有一些其它的内涵比如竞争、寻找最优，像商业竞争、外交谈判就是这样的意义下的游戏，尽管不那么有趣、不过战争也可以算作是游戏。在OI中有许多题目从游戏中提出问题。Alice&　Bob　就因此出了

2、名。在这些游戏中组合游戏占了很大一部分，组合游戏其实对我们来说并不陌生，它是是满足这样一些条件的游戏：１）游戏有２名参与者。２）游戏过程中任意时刻有确定的状态。３）参与者操作时可以的操作时将游戏从当前状态改变为另一状态，规则规定了在任意一状态时，可以到达的状态集合。４）参与者轮流进行操作。５）在游戏出于某状态，当前参与者不能进行操作时，游戏结束。此时参照规则决定胜负。６）无论参与者做出怎样的操作游戏在有限部数之内结束(没有平局)。７）参与者拥有游戏本身，和游戏过程的所有信息，比如规则、以前自己和对手的操作。本文讨论的

3、组合游戏还有一个公平性的限制、即２名参与者的操作规则是相同的。组合游戏也可以用一个有向图来表示　G=(X，F)X为游戏的状态集合F(X)为X可以到达的状态集合，而结束状态均宣布当前参与者失败。如果原游戏的结束状态为胜利，那么有必要将图改一下适应题目规则。　组合游戏必然是一个无环图(无平局)。２．必胜、必败状态在组合游戏中必胜状态定义为当前玩家有策略能使无论对手做什么操作也可以保证自己胜利的状态。相反，如果之前操作的玩家能够保证胜利、则它是必败的状态在组合游戏中一个状态如果不是必败状态就是必胜状态，这是显而易见的。通常

4、我们分析做和游戏的目的就是判断一个状态为必胜还是必败，如果必胜，则找出必胜策略。完成这一点仅凭以上定义是不够的，而以下的性质(可以用来判定一组划分是否为必败状态与必胜状态的划分)则明确的指出了一种递推的方法。１）结束状态的性质由规则决定。２）一个非结束状态，如果它能到达任何必败状态，那么它是必胜状态，否则它就是必败状态。尽管这对每个组合游戏都适用，但它可不是万能的，有时一个游戏的状态非常多，计算机无法处理，这时你就得借用别的方法了。３．Sprague-Grundy函数它是定义在组合游戏状态上的函数，用g(X)表示X状

5、态的函数值。它的定如下：g(X)=min｛n

6、n∈N,n≠fory∈F(x)｝形象的说就是X的函数值为与X所能到达的任意点函数值不同的最小自然数。我想细心的读者已经发现g(X)=０当且仅当X为必败状态，这用其定义很容易验证：１）当X为结束状态时，由于g(X)=０它是必败状态。２）当X不是结束状态时，如果它能到达必败状态，那么g(X)＞０，X是必胜状态。３）如果X不是结束状态且它到达的所有状态未必败状态，那么g(X)=０它是必败状态。这个冗长的定义，看上去毫无意义，因为直接判断一个状态的性质比使用这个函数要方便多了。但

7、实际上与感觉的相反，这确是许多方法的基石，他的一些性质，使我们分析组合游戏的重要工具。【概述】组合游戏是一直是一个有趣的话题，有了电脑，我们可以更轻松的分析这些游戏。这些游戏渐渐进入了信息学竞赛，掌握合理分析组合游戏的方法的必要性也与日俱增。我们总是有兴趣了解一个组合游戏是否有必胜的策略，如果有那应该怎么操作才能保证胜利？这是我们分析组合游戏的主要目的。组合游戏有着许多普遍的规律，这是我们分析组合游戏的关键。怎么样利用这些规律，对于特殊的游戏，又怎么利用它的特殊性给我们的分析带来便利？笔者将对许多组合游戏的分析过程加

8、以总结，得出一套有效方法。不过任何方法都有其局限性，希望读者在掌握运用这些方法的同时，不要让思维局限于其中，从中得到启发的同时能锻炼思维，使眼光敏锐，拓宽思维。本文介绍的三种基本手段分别是分解游戏，归纳，转化游戏。【分解游戏】一、分解游戏与游戏的和游戏的和是指这样的游戏：两名参与者轮流操作若干子游戏，每次操作可以选择任意一个子游戏进行操作，最后后操作者胜利。nim游戏就是这样的典型。nim游戏为两人轮流从若干堆石子中取走石子，每次可以取走任意一堆中任意数目的棋子，但必须取走至少一枚，取走最后一枚石子的人胜利。它是由若

9、干个一堆石子的特殊ｎｉｍ组成的，每次操作都只能按照子游戏的规则操作一个子游戏。我们用G=(X，F)表示G1+G2+……Gn．其中Gi=(Xi，Fi)是一个简单的组合游戏。则X=X1*X2*X3*……Xn对于X=(X1，X2，X3……Xn)F(X)=F(X1，X2，X3……Xn)=　　F１(X1)*｛X2｝*｛X3｝*……｛Xn｝∪　　｛X1｝*