数学:1.1.1变化率问题教案 (2)

数学:1.1.1变化率问题教案 (2)

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1、§1.1.1变化率问题教学目标1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;教学难点:平均变化率的概念.教学过程:一.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小

2、)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二.新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析:,hto⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时

3、,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算:和的平均速度在这段时间里,;在这段时间里,探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止的吗?⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程:如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,,所以,虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以

4、说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念:1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2.若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3.则平均变化率为思考:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?f(x2)y=f(x)y△y=f(x2)-f(x1)f(x1)直线AB的斜率△x=x2-x1x2x1xO三.典例分析例1.已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则.解:,∴例2.求在附近的平均变化率。解:,所以所以在附近的平均变化率为四.课堂练习1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为.2.物体按照

5、s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.五.回顾总结1.平均变化率的概念2.函数在某点处附近的平均变化率六.布置作业

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