高三数学第二轮专题讲座复习：数学归纳法的解题应用

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1、高三数学第二轮专题讲座复习：数学归纳法的解题应用高考要求数学归纳法是高考考查的重点内容之一类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法重难点归纳(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等典型题例

2、示范讲解例1试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况技巧与方法本题中使用到结论(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a证明(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=+bn

3、qn=bn(+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②设n=k时成立，即则当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立例2在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列(1)

4、求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和错解分析(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视技巧与方法求通项可证明{}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式解∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得a3=－同理可得a4=－,由此可推出an=(2)①当n=1,2,3,4时，由(*

5、)知猜想成立②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)由①②知，an=对一切n∈N成立(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0例3是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)解假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立1·22+2

6、·32+…+n(n+1)2=记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk=(3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立学生巩固练习1已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值

7、为()A30B26C36D62用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()An=1Bn=2Cn=3Dn=43观察下列式子…则可归纳出________4已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为________，由此猜想an=________5用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*6若n为大于1的自然数，求证参考答案1解析∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36

8、整除证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36答案C2解析由题意知n≥3，∴应验证n=3答案C3解析(n∈N*)(n∈N*