数列求和的基本方法和技巧

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1、数列求和的基本方法和技巧一．公式法1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5，[例1]已知，求的前n项和.解：由＝＝＝1－[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）5/5再利用等比数列的求和公式得：∴[例4]求数列前n项的和.解

2、：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴三.倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例5]求证：证明：设…………………………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为5/5①+②得＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若

3、将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得Sn＝（分组）＝＝＝练习：求数列的前n项和。解：五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.5/5裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和

4、）＝＝[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：　∵　∴（裂项）∴数列{bn}的前n项和（裂项求和）＝＝∴　原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°5/5∵（找特殊性质项）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···

5、+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质（找特殊性质项）和对数的运算性质得（合并求和）＝＝＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通项及特征）∴＝（分组求和）＝＝＝练习：求5，55，555，…，的前n项和。解：∵an=59(10n-1)∴Sn=59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n-1)=59[（10+102+103+…

6、…+10n）-n]=（10n＋1-9n-10）5/5