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时间:2018-07-18
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1、初一数学竞赛讲座第10讲计数的方法与原理 计数方法与原理是组合数学的主要课题之一,本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。一、枚举法 一位旅客要从武汉乘火车去北京,他要了解所有可供乘坐的车次共有多少,一个最易行的办法是找一张全国列车运行时刻表,将所有从武汉到北京的车次逐一挑出来,共有多少次车也就数出来了,这种计数方法就是枚举法。所谓枚举法,就是把所要求计数的所有对象一一列举出来,最后计算总数的方法。运用枚举法进行列举时,必须注意无一重复,也无一遗漏。 例1四个学生每人做了一张贺年片,放在桌子上,然后每人去拿一张,但不能拿自己
2、做的一张。问:一共有多少种不同的方法? 解:设四个学生分别是A,B,C,D,他们做的贺年片分别是a,b,c,d。 先考虑A拿B做的贺年片b的情况(如下表),一共有3种方法。 同样,A拿C或D做的贺年片也有3种方法。 一共有3+3+3=9(种)不同的方法。 例2甲、乙二人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止。问:一共有多少种可能的情况? 解:如下图,我们先考虑甲胜第一局的情况: 图中打√的为胜者,一共有7种可能的情况。同理,乙胜第一局也有7种可能的情况。一共有7+7=14(种)
3、可能的情况。二、加法原理如果完成一件事情有n类方法,而每一类方法中分别有m1,m2,…,mn种方法,而不论采用这些方法中的任何一种,都能单独地完成这件事情,那么要完成这件事情共有:N=m1+m2+…mn种方法。 这是我们所熟知的加法原理,也是利用分类法计数的依据。8 例3一个自然数,如果它顺着数和倒着数都是一样的,则称这个数为“回文数”。例如1331,7,202都是回文数,而220则不是回文数。问:1到6位的回文数一共有多少个?按从小到大排,第2000个回文数是多少? 解:一位回文数有:1,2,…,9,共9个; 二位回文数有:
4、11,22,…,99,共9个; 三位回文数有:101,111,…,999,共90个; 四位回文数有:1001,1111,…,9999,共90个; 五位回文数有:10001,10101,…,99999,共900个; 六位回文数有:100001,101101,…,999999,共900个。 到六位数为止,回文数共有 9+9+90+90+900+900=1998(个)。 第1999个回文数是1000001,第2000个回文数是1001001。 例4设有长度为1,2,…,9的线段各一条,现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正
5、方形,共有多少种不同的取法?这里规定当用2条或多条线段接成一条边时,除端点外,不许重叠。 解法1:因为 所以正方形的边长不大于11。 下面按正方形的边长分类枚举: (1)边长为11:9+2=8+3=7+4=6+5,可得1种选法; (2)边长为10:9+1=8+2=7+3=6+4,可得1种选法; (3)边长为9:9=8+1=7+2=6+3=5+4,可得5种选法; (4)边长为8:8=7+1=6+2=5+3,可得1种选法; (5)边长为7:7=6+1=5+2=4+3,可得1种选法; (6)边长≤6时,无法选择。 综上计
6、算,不同的取法共有 1+1+5+1+1=9(种)。 解法2:由于这些线段互不等长,故至少要用7条线段才能组成一个正方形。当恰取7条线段组成正方形时,正方形的3条边各用2条线相接,另一条边只用一条线段;当恰用8条线段时,只能每边各用2条线段相接(容易看出,其他情况不可能发生)。因为1+2+…+9=45,45不能被4整除,所以用9条线段,不可能组成正方形。由解法一知,拼出的正方形边长至多为11,又易知正方形的边长不可能为1,2,3,4,5,6。有了以上分析就容易计数了。 (1)取出7条线段,有以下7种: 7=1+6=2+5=3+4
7、; 8=1+7=2+6=3+5; 9=1+8=2+7=3+6=4+5 (这个式子有5种); (2)取出8条线段,有以下2种: 1+9=2+8=3+7=4+6; 2+9=3+8=4+7=5+6。 综上所述,不同的取法共有7+2=9(种)。三、乘法原理8如果完成一件事必须分n个步骤,而每一个步骤分别有m1,m2,…,mn种方法,那么完成这件事共有:N=m1×m2×…×mn种方法。 这就是乘法原理,它是分步法的依据。乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。我们应注意它们的区别,也要注意二者的联合使用。 例5一台晚会上有6
8、个演唱节目和4个舞蹈节目。求: (1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序? (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序? 解:(1)先将4个舞蹈节目看成
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