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1、第二章 矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：求从变量到变量的线性变换．解由已知：故2．已知两个线性变换求从到的线性变换．解 由已知所以有3．设,求解214．计算下列乘积：(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5．设,，问：(1)吗?(2)吗?21(3)吗?解(1),.则(2)但故(3)而故6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若,则;（２）若,则或;（３）若,且,则.解(1) 取,,但(2) 取,,但且(3) 取,,.且但.7．设,求.解;利用数学归纳法证明:当时,显然成立,
2、假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8．设,求.解首先观察,21由此推测用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，则时，由数学归纳法原理知:9．设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明 已知：则从而也是对称矩阵.10．设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明 由已知：充分性：即是对称矩阵.必要性：.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)；(2)；(3);(4)解(1),..(2)故存在21从而(3),故存在故(4).由对角矩阵的性质知12．解下列矩阵方程：(1) ;(2) ;(3) ;(4) .解(1)
3、(2) (3) (4) 13．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)(2)21解 (1) 方程组可表示为故从而有(2)方程组可表示为故故有14．设(为正整数),证明：.证明 一方面，另一方面，由有故 两端同时右乘就有15．设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明 由得两端同时取行列式:即 ,故 .所以可逆,而故也可逆.由又由16．设为3阶矩阵，，求。解因，故可逆，于是由21==及=,得=-=,两端取行列式得===-2.17.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。证因=，由的可逆性及，可知可逆，且＝；另一方面，由伴随阵的性质，有=.
4、用左乘此式两边得===,比较上面两个式子，即知结论成立。18.设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1) 若,则;(2) .证明(1) 用反证法证明．假设则有.由此得.这与矛盾，故当时,有.(2) 由于取行列式得到:若则若由(1)知此时命题也成立故有19.设,,求.解 由可得故20.设,且,求.解由方程，合并含有未知矩阵的项，得。又，其行列式-1,故可逆，用左乘上式两边，21即得=21.设，，求。解由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此，用左乘所给方程两边，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到==,是可逆矩
5、阵，且=,于是＝4=.22.已知矩阵的伴随阵，且，求。解首先由来确定，由题18知==8,故＝2，其次化简所给矩阵方程：。(用左乘式两边)(因=)=6(因()可逆)23．设,其中,,求.解 故所以而21故24.设,其中,,求.解因=-6,故可逆，且可求得从而有=.又因为＝=所以＝＝＝25.设矩阵A、及都可逆，证明也可逆，并求其逆阵。证要证可逆，由于无法直接寻找一个X,使（）X=E,所以，考虑把用“和化积”思想表示乘可逆矩阵的乘积。因A、已及都可逆，，，于是====这样，已表示成上最后一个等号三个可逆矩阵的乘积，于是可逆，由可逆矩
6、阵的性质，有===.26.计算解＝27．取,验证.检验:21而 ,故 28．设,求及解 ，令,.则.故..29．设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求．解将分块为.其中,为矩阵,为矩阵.为矩阵,为矩阵.则由此得到故．30.求下列矩阵的逆阵：（1）（2）解（1）这里矩阵是一个分块对角矩阵，其中＝，＝。21因＝，＝，故得＝（2）记所给矩阵为，伴随矩阵为＝，其中为的代数余子式。令，，，则，，－＝于是，由第29题之(2)的结果，得＝。21
