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《第六章 单时段投资消费问题总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、单时段投资消费问题总结§6.2最优证券组合及其可行性定义1.1拥有的财富所产生的令人满意程度称为财富的效用.边际效用递减原理:同样1个单位的财富其效用的大小依赖于已有的财富,已有的财富越多,该个单位财富的效用就越小.(2.2)这是一类交易策略,它们对应的初始资产均为.我们考虑下述问题.问题2.1对给定的,寻找,使得(2.3)(2.4),(∵)(2.4.2)定理2.3(1)市场是可行的(2)市场无套利(3)假如此时为问题2.1的一个最优解,定义(2.5)则是上的一个风险中性概率测度.定理2.4假定市场无套利,并且效用函数满足下述条件:存在,使得,(2.18)则问题2.1至少存在
2、一个最优解.为一个消费投资计划,对给定,称为是允许的,§6.3最优消费投资问题若(3.1)问题3.1对给定的,寻找使得(3·2)(3.3)命题3.2设,(3.5)定理3.3假如问题3.1存在一个最优解,(i)则市场无套利;(ii)若(3.8),则由下面定义的Q是一个风险中性概率测度:(3.9)§6.4均值方差理论,(4.l)第4页共4页,(4.2),(4.3)(4.3.1)(4.3.2)(4.4)(4.5)命题4.1假定,且存在使得,(i).(ii)如果,则对任何,有.(iii)(4.6)(4.7)问题4.2对,寻找使得(4.13)问题4.3对寻找,使得(4.14)问题4.4
3、对找有(4.15)(问题4.2(4.13))(4.16)(问题4.3(4.14))(4.17)(问题4.4(4.15))(4.18)问题4.6寻找,(4.23)使得(4.24),其中,(4.25)于是,假如是一个最优解,则有下式成立:第4页共4页(4.26)(4.28)这里,应满足,(4.29)引理4.7设Q是上的一个概率测度,使得(4.30),则(4.31)定理4.8假定市场完备且无套利,设为一个风险中性概率测度,,定义,,(4.33)则是问题4.3的一个最优解当且仅当它是问题4.4的一个最优解.此时，，(4.34).(4.35)定理4.9(资本资产定价模型)假定市场完备且
4、无套利,假定,是均值方差问题4.2的一个最优解,则对任何交易策略,成立.(4.52)定理4.10(共同基金原理)假定市场完备且无套利,假定,是问题4.2的一个最优解,对任何,定义,(4.56)其中,,则为相应于的问题4.2的一个最优解.§6.5有约束的最优投资问题一、几个约束条件(1)股票卖空约束:(5.1)(2)股票持有量上限约束:,(5.3)(3)借款限制:(5.4)(4)允许与总资产成比例的卖空或借款:设投资者的初始总资产为,(5.5)则要求:,(5.6)其中,为常数.易见,(5.6)包含了(5.1)和(5.4).(5)不允许破产:这是指下述关系式成立:,.(5.7)二
5、、具有约束的最优投资问题现在,我们令为两个凸闭集,为一个光滑的效用函数.引入下述集合:第4页共4页,(5.8)任何称为一个允许策略.显然,(5.8)中出现的约束已经包含了所有上述例子.问题5.1寻找,使得(5.9),§6.6在险价值以及相关的最优投资问题定义6.1对于给定的,以及,令,(6.3)我们称是在置信度为下以为目标的在险价值(valueatrisk).特别,当时,我们称为投资策略(或证券组合)在置信度为下以为目标的VaR,并简记它为.命题6.2下述关系式成立：(6.4).(6.5)上面的分析给出了VaR的计算方法.现在,我们将其总结如下:(1)对给定的投资策略,将写成
6、(6.8)的形式;(2)对给定的,找出惟一的,使得(6.16)成立;(3)对给定的,按(6.17)可以立即算出相应的VaR.问题6.3寻找一个投资策略,使得(6.20)上述问题称为分位数套期保值(quantilehedging)问题.如果取,则上述问题也可以表述为;寻找一个投资策略,使得(6.21)命题6.4假定给定的单时段市场存在惟一的风险中性概率测度Q,设X为一个未定权益,满足(6.19),设是下述问题的一个解:(6.22)则未定权益是可复制的.假如是的一个复制策略,则为问题6.3的一个解.定义6.5设为一个未定权益,称为在投资策略下关于目标的亏空.问题6.6对给定的未定
7、权益X和常数,寻找投资策略,使得.(6.33)问题6.7对给定的和,以及给定的未定权益X,定义(6.35)寻找一个投资策略,使得.(6.36)第4页共4页
