湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（3） (2)

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1、亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）姓名：班级：分数：一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算:.设，，则集合的所有元素之和为（）A.16B.18C.20D.222.已知是等比数列，，

2、则的取值范围是（）A.B.C.D.3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.B.C.D.４．已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的（　　）Ａ．必要而不充分条件　　　　　　　Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件5．设函数定义在上，给出下述三个命题：①满足条件的函数图象关于点对称；②满足条件的函数图象关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是（）A.0B.1

3、C.2D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点③的最大值为5④的最小值为1其中真命题为（）A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④7.设，，，,则的大小关系是（　　）　Ａ．　　　　　　　　Ｂ．　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．8.设函数，且，，则（）A.2B.1C.0D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.请将正确的答案填在横线上.）9．在平面直角坐标系中

4、，定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　．10.已知集合，若点、点满足且，则称点优于.如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则所有这样的点构成的集合为　　　　　　　　　　　　　　．11.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为.（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为.13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰

5、有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，其中，表示实数的整数部分，例如，按此方案，第2008棵树种植点的坐标为.三、解答题（本大题共4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）15．（本小题满分14分）设实数，求证：其中等号当且仅当或成立，为正实数.１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”的事件称

6、为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．17.（本小题满分16分）已知函数在区间上的最小值为，令，，求证：18.（本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；（2）当∥时，定点平分线段湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）详细解答1.解：集合的元素：，，，，故集合的所有元素之和为16.选A.2.解:设的公比为，则，进而.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列..显然，.选C.3.解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种.

7、每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.选D.４．解：设，，则表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离.当时，由点与直线之间垂直距离最短知，，即对一切，不等式恒成立．反之，如果恒成立，则，故必为点到的垂直距离，，即.选C.5．解：用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然，故①是真命题.用代替

8、中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6.解：假设、相交于点，则、共面，所以、、、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故