【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教a版必修1)：第1章 集合与函数概念 §13 函数的奇偶性. 新课标

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1、1.3.2　奇偶性1．函数奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．理解函数的奇偶性要注意以下四点：(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”

2、性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．(

3、3)既奇又偶函数的表达式是f(x)＝0，x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集．(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.2．用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定f(－x)与f(x)的关系：①若

4、f(－x)＝－f(x)，则此函数为奇函数；②若f(－x)＝f(x)，则此函数为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)，同时f(－x)＝f(x)，则此函数为既奇又偶函数．(2)在判断f(－x)与f(x)的关系时，可以从f(－x)开始化简，也可以去考虑f(－x)＋f(x)或f(－x)－f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑，与1或－1的关系．3．奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形

5、，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数．(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象)．(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在称的两个区间上的单调性是相反的.　　　　题型一　函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶

6、性：(1)f(x)＝x3＋2x；　　　(2)f(x)＝2x4＋3x2；(3)f(x)＝x2＋2x＋5;(4)f(x)＝x2，x∈(0，＋∞)；(5)f(x)＝.分析　本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义，应注意两个方面：(1)函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，只有f(x)＝0(x∈R或x∈(－a，a)，a>0)既是奇函数又是偶函数．(2)从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称，其次f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)必有一成立．

7、解　(1)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－(x3＋2x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x3＋2x是奇函数．(2)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，所以函数f(x)＝2x4＋3x2是偶函数．(3)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋5＝x2－2x＋5，所以f(－x)≠f(x)，且f(－

8、x)≠－f(x)，所以函数f(x)＝x2＋2x＋5既不是奇函数也不是偶函数．(4)函数的定义域为(0，＋∞)，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)＝x2，x∈(0，＋∞)既不是奇函数也不是偶函数．(5)函数的定义域为{x

9、x∈R且x≠1}，并不关于原点对称．所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．点评　对于整式函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N＋)，若解析式中只含有x的偶次方项(a0可看成a0x0，