线性代数技巧行列式的计算方法

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1、计算n阶行列式的若干方法举例n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1．利用行列式定义直接计算例1计算行列式解Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于，故2．利用行列式的性质计算33例2一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由知，即故行列式Dn可表示为由行列式

2、的性质当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.333．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3计算n阶行列式解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得334．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4计算n阶行列式解将Dn按第1行展开.5

3、．递推公式法33递推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系——称为递推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5证明证明：将Dn按第1列展开得33由此得递推公式：，利用此递推公式可得6．利用范德蒙行列式例6计算行列式解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2计算阶行列式33．其中．解这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因

4、，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即337．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7计算n阶行列式解：（箭形行列式）33例2计算n（n≥2）阶行列式，其中．解先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：．显然，．将的第一行乘以后加到其余各行，得．因，将上面这个行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得：33故8．数学归纳法例8计算n阶行列式解：用数学归纳法.当n=2时假设n=k时，有33则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n，有9．拆开法把某一行（或列

5、）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9计算行列式解：……33例2计算n（n≥2）阶行列式．解将按第一列拆成两个行列式的和，即．再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到当n≥3时，．当时，．上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。3333第1讲计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法．其实，同一个行列式可以有多种不同的方

6、法进行计算．因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式．这一讲，我们将介绍一些常用的方法．1．化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如，的行列式的结果．如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值．为了叙述简便，仍用记号表示互换行列式的第i行（列）与第j行（列）；用表示将行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示将第i行（列）乘以非零的数c．例1计算行列式．解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．33例2计

7、算n阶行列式．解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．33例2计算阶行列式．其中．解这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即331．降阶法当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算．例2计算n（n≥2）阶行列式．解按第一行展开，得．再将上

8、式等号右边