线性代数技巧行列式的计算方法

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1、计算n阶行列式的若干方法举例n阶行列式的计算方法很多,除非零元素较多时可利用定义计算(①按照某一列或某一行展开②完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法,并举例说明。1.利用行列式定义直接计算例1计算行列式解Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t(n-1n-2…1n)等于,故2.利用行列式的性质计算33例2一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式,证明:奇数阶反对称行列式为零.证明:由知,即故行列式Dn可表示为由行列式

2、的性质当n为奇数时,得Dn=-Dn,因而得Dn=0.333.化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3计算n阶行列式解:这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3,…,n列都加到第1列上,行列式不变,得334.降阶法降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。例4计算n阶行列式解将Dn按第1行展开.5

3、.递推公式法33递推公式法:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1,Dn-2之间的一种关系——称为递推公式(其中Dn,Dn-1,Dn-2等结构相同),再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5证明证明:将Dn按第1列展开得33由此得递推公式:,利用此递推公式可得6.利用范德蒙行列式例6计算行列式解把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以此类推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行,便得范德蒙行列式例2计算阶行列式33.其中.解这个行列式的每一行元素的形状都是,0,1,2,…,n.即按降幂排列,按升幂排列,且次数之和都是n,又因

4、,若在第i行(1,2,…,n)提出公因子,则D可化为一个转置的范德蒙行列式,即337.加边法(升阶法)加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。例7计算n阶行列式解:(箭形行列式)33例2计算n(n≥2)阶行列式,其中.解先将添上一行一列,变成下面的阶行列式:.显然,.将的第一行乘以后加到其余各行,得.因,将上面这个行列式第一列加第i(,…,)列的倍,得:33故8.数学归纳法例8计算n阶行列式解:用数学归纳法.当n=2时假设n=k时,有33则当n=k+1时,把Dk+1按第一列展开,得由此,对任意的正整数n,有9.拆开法把某一行(或列

5、)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以利计算。例9计算行列式解:……33例2计算n(n≥2)阶行列式.解将按第一列拆成两个行列式的和,即.再将上式等号右端的第一个行列式第i列(,3,…,n)减去第一列的i倍;第二个行列式提出第一列的公因子,则可得到当n≥3时,.当时,.上面介绍了计算n阶行列式的常见方法,计算行列式时,我们应当针对具体问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。学习中多练习,多总结,才能更好地掌握行列式的计算。3333第1讲计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法.其实,同一个行列式可以有多种不同的方

6、法进行计算.因此,除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点,选取恰当的方法,才能较快地酸楚行列式.这一讲,我们将介绍一些常用的方法.1.化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上(下)三角行列式、范德蒙行列式以及形如,的行列式的结果.如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式,则不难求出所给行列式的值.为了叙述简便,仍用记号表示互换行列式的第i行(列)与第j行(列);用表示将行列式第j行(列)的k倍加到第i行(列);用表示将第i行(列)乘以非零的数c.例1计算行列式.解这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化为上(下)三角行列式来计算.33例2计

7、算n阶行列式.解这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相似,因此n列之和全同.将第2,3,…,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是1.33例2计算阶行列式.其中.解这个行列式的每一行元素的形状都是,0,1,2,…,n.即按降幂排列,按升幂排列,且次数之和都是n,又因,若在第i行(1,2,…,n)提出公因子,则D可化为一个转置的范德蒙行列式,即331.降阶法当一个行列式的某一行(列)的元素有比较多0时,利用行列式的依行(列)展开定理将它化为较低阶的行列式来计算.例2计算n(n≥2)阶行列式.解按第一行展开,得.再将上

8、式等号右边

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