应用弹性力学教程第四章

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1、第四章结构的振动4．1振动的一些基本概念实际振动系统一般很复杂，我们从动力学角度出发，分析系统产生振动的内因和外因。在研究中要对系统进行理想化，忽略一些次要因素，将它简化为一抽象化的力学模型，称作力学系统。然后可运用力学原理建立描述系统动力特性的数学方程（如数学微分方程），这一过程称为建模。例如一个最简单的单自由度系统系统质量块m，弹簧刚度系数，粘性阻尼系数，在重力作用下的静伸长为，所以取静平衡位置为坐标起点0，则在作用下，质量块的受力如下图所示。由牛顿第二定律由于，因此（1）此为单自由度系统在外激励作用下振动微分方程。12

2、（一）无阻尼系统的自由振动此时，无阻尼，，由式（1）得（2）其解为代入微分方程(2)，得即　　—特征方程其根为∴式中，由初始条件确定。可见，无阻尼系统的自由振动是简谐振动　　　　—　固有频率—固有周期其中，—振幅；—初相位。（二）阻尼系统的自由振动其解为其特征方程：其特征根12引入一无量纲参数：—阻尼比∴对于不同阻尼比，上式将给出实根或复根（1）过阻尼情况（）这时是一对互异实根，那么其中，，由初始条件决定。因此，过阻尼系统的自由振动是衰减运动，无振荡。（2）临界阻尼情况（）这时，是一对相等的实根，，于是（3）欠阻尼情况（）1

3、2这时是一对共轭复根，所以其中—阻尼固有频率，小于固有频率。4.２弹性体的振动飞机操纵杆、直升机传动系统的轴、飞机机翼、直升机旋翼、发动机叶片等的振动都是弹性体的振动，如杆的纵向振动、圆轴的扭转振动、梁的弯曲振动等。对其特性与振动方程进行研究具有重要的工程意义。飞机机翼颤振、直升机旋翼颤振、直升机“地面”和“空中”共振、噪声振动控制等是飞机结构动力学研究的重要内容，作为介绍，我们考察弹性梁的振动问题。如果梁各截面的中心主轴在同一平面内，外载荷也作用于该平面内，则梁的主要变形振动为弯曲振动。对于细长梁的低频振动，可忽略梁剪切变

4、形，以及截面绕中性轴转量惯量的影响，此为伯努力梁模型。分析步骤：建立运动偏微分方程→通过分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组→由边界条件求出固有振动特性→利用固有振型的正交性将系统解耦→用振型叠加法得系统的自由振动或受迫振动12梁：梁长度ｌ，横截面积A(x)，弹性模E，质量密度ρ，中性轴惯矩I(x)，:单位长度横向外力和外力矩，:ｔ时刻的横向位移由牛顿第二定律：梁微段的横向运动满足：即有∴由材料力学可知：则对于均匀等截面直梁：和为常数：∴—梁的运动偏微分方程（一）自由振动的形式令，则自由振动方程：采用分离变量法求解：设，其

5、中W(x)—梁截面中性轴ｘ处的横向振幅，q(t)—描述运动规律的时间函数，代入运动方程，可得即12方程左端为的函数，右端为ｔ的函数，与ｔ彼此独立有其中。解上述方程，得式中，∕可由梁两端的边界条件确定；,则由梁的运动初始条件确定。（二）固有振动的确定最常见的边界条件有三种：（1）固定边界条件在固定端处桡度和转角为零，即(2）铰支边界条件在铰支端处桡度和弯矩为零，即（3）自由边界条件在自由端上弯矩和剪力为零，即例题确定两端铰支均匀材料等截面直梁的固有频率和固有振型。解铰支梁两端的边界条件分别为12将它们代入，及的表达式，可得∴∴

6、由于铰支梁不会产生刚体运动，即,∴此为固有频率。对应的固有振型函数为例题确定均匀材料等截面悬臂梁的固有频率和固有振型。解对于端固支，端自由的悬臂梁，其边界条件为我们可以将前面的改写成：其中：12将边界条件（）处代入上式，可得将边界条件（）处代入上式，可得梁的运动要求常数和不能同时为零，故有：∴固有频率方程为：该方程的根可由图解法大致确定后，再用ＭＡＴＬＡＢ精确化，可得相应的固有频率为固有振型函数为其中。因此，可取为1212（三）固有振型的正交性考察具有简单边界条件的均匀材料等截面直梁，其固有频率和固有振型满足方程：，其中：我

7、们将上式两端同乘以，并沿梁长作关于ｘ的积分，利用分部积分，可得根据边界（固支，简支，自由端）的边界条件，上式等式右边第1，2项总为零，故由于和是任取的，交换顺序有将两式相减，可得除了两端自由梁的两个零固有频率，时总有，因此，（四）自由振动梁的自由振动是各阶固有振动的线性组合其中常数和由初始条件确定，即由时刻的，来决定。例题求两端铰支的均匀材料等截面直梁在以下两种扰动下的自由振动：1）122）梁在初始瞬时是出于平衡状态，在处的微段内受脉冲力作用，引起在处的初速度为解由铰支梁的固有频率及固有振型函数公式：对于初始条件（1）的情况

8、：∴比较上式两端同次谐波，得∴梁弯曲的自由振动为对于初始条件（2）的情况：由初始位移为零，得解出。再考察初速度条件：将上式两端同乘后，沿梁长对x积分，上式右端项变为由于，及固有振型的正交性：，式（1）变为(r=s)上式左端项变为12∴∴，∴当时，梁的自由振动为12