2018年硕士研究生入学考试初试考试大纲

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1、2018年硕士研究生入学考试初试考试大纲科目代码：814科目名称：数学分析适用专业：数学类各专业考试时间：3小时考试方式：笔试总　　分：150分考试范围：一、函数、极限与连续1．深入理解函数的概念，理解基本初等函数的图像，理解几个特殊的函数性质，如有界、单调、奇偶与周期，熟练掌握复合函数、反函数与初等函数的运算。2．深入理解数列极限的概念；熟练掌握收敛数列的性质，如唯一性、有界性、保号性、保不等式性及数列极限的存在条件（单调有界数列必有极限与夹逼定理）。3．深入理解函数极限的概念，包括函数极限的若干种

2、情形；熟练掌握函数极限的性质，包括唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算法则；掌握函数极限的存在条件；熟练掌握两个重要极限，会用无穷大与无穷小处理极限问题。4．深入理解无穷小与无穷大的概念，熟练掌握无穷小比较的定义与求解。5．深入理解连续函数的概念，掌握闭区间上连续函数的性质；理解一致连续的概念；了解复合函数与反函数连续的充分条件，以及初等函数的连续性。二、一元函数微分学 1．深入理解导数的概念，了解物理和几何背景；熟练掌握各种求导的运算；理解微分的概念，会进行近似计算。理解高阶

3、导数的概念，了解莱布尼兹公式。2．掌握三个微分中值定理；熟练掌握罗必达法则；掌握带有两种余项的泰勒公式，熟练掌握常用的几个函数的展开式；掌握运用导数来判断函数的单调、凹凸等性质；掌握函数极值的判别和函数最大（小）值的求法。三、一元函数积分学1．理解不定积分的概念，熟练掌握基本初等函数的不定积分；掌握常用的换元积分法与分部积分法；掌握有理函数、简单的无理函数与三角有理函数的不定积分。2．深入理解定积分的概念；理解可积准则；了解常用的可积函数类；了解定积分的性质；理解变限定积分的概念与原函数存在定理。熟练

4、掌握计算定积分的牛顿—莱布尼兹公式、换元公式和分部公式。3．掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体体积和平面曲线的弧长；了解定积分在物理上的应用。四、多元函数微分学1．理解多元函数的概念；掌握几种极限之间的关系，连续函数的性质。2．理解偏导数与全微分的概念。3．了解方向导数和梯度的概念。4．熟练掌握复合函数的微分计算。5．了解隐含数的存在性条件与结论；熟练掌握隐函数的微分法。6.掌握偏导数的几何应用与条件极值的求法。五、多元函数积分学1．理解重积分的概念，掌握其性质及计

5、算方法(重点为二重与三重积分)。2．了解曲线、曲面积分的定义与计算，掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式公式；了解散度与旋度。六、无穷级数1．掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质；掌握判别正项级数敛散性的各种方法—比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法；理解收敛级数、绝对收敛级数与条件收敛级数的关系、性质及证明方法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。2．理解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性，掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定

6、义、函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。3．理解幂级数作为特殊的函数项级数和一般函数项级数相同的性质，会求幂级数的收敛半径和收敛范围；掌握泰勒级数和麦克劳林展开公式，五种基本初等函数的幂级数展开。4．了解傅里叶级数的收敛定理，掌握三角级数和傅里叶级数定义；掌握以与为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数。七、反常积分与参变量积分1．深入理解反常积分，无穷积分，瑕积分的概念、性质及判别法。2．深入理解含参变量积

7、分的概念、性质及判别法；了解Γ函数与B函数。3．掌握反常积分与含参变量积分的计算。样题：一、试解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，总计24分）1．设，，求。2．设，，问当时，是的何种无穷小？3．设，求。4．计算。二、试解下列各题（本大题共4小题，每小题8分，总计32分）1．求曲线，其过点的切线及轴所围成图形的面积。2．设，其中具有二阶连续偏导数，求。3．求曲面上平行于平面的切平面方程，并切点处的法线方程。4．计算，其中由所围成。三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题12分，总计72分）1．设锥体

8、内各点的体密度等于该点到轴的平方，求此立体绕轴的转动惯量。2．计算，其中是由沿到的弧段。3．计算其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧。4．研究级数（）的敛散性，并指明是条件收敛还是绝对收敛？5．证明含参变量积分在上一致收敛。6．设，证明在内函数列一致收敛。四、证明题（本大题共2小题，每小题11分，总计22分）1．证明：函数在区间（其中为常数）上一致连续；在区间上非一致连续。2．设在上连续，在内可导，且，则对任何正整数，存在，使得。